数学C 平面ベクトル 問題 75 解説

方針・初手

外心 $O$ から各辺に下ろした垂線の足は、対応する弦の中点である。したがって、まず $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ で表す。

その後、得られたベクトル関係式と

$$ |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}| $$

を用いて、内積から $\angle A$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

$O$ は $\triangle ABC$ の外心であるから、

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}| $$

である。

また、外心から弦に下ろした垂線はその弦を二等分する。よって、$P,Q,R$ はそれぞれ $BC,CA,AB$ の中点である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},\quad \overrightarrow{OQ}=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2},\quad \overrightarrow{OR}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} $$

である。

条件

$$ \overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OQ}+3\overrightarrow{OR}=\mathbf{0} $$

に代入すると、

$$ \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2} +2\cdot\frac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2} +3\cdot\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} =\mathbf{0} $$

である。両辺を $2$ 倍して整理すると、

$$ (\mathbf{b}+\mathbf{c})+2(\mathbf{c}+\mathbf{a})+3(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{0} $$

すなわち

$$ 5\mathbf{a}+4\mathbf{b}+3\mathbf{c}=\mathbf{0} $$

である。

よって、

$$ 5\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} $$

を得る。

次に $\angle A$ を求める。上の関係式より、

$$ 5\mathbf{a}=-(4\mathbf{b}+3\mathbf{c}) $$

である。両辺の大きさの平方をとると、

$$ 25|\mathbf{a}|^2 =|4\mathbf{b}+3\mathbf{c}|^2 $$

であるから、

$$ 25|\mathbf{a}|^2 =16|\mathbf{b}|^2+24\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+9|\mathbf{c}|^2 $$

となる。

ここで $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|$ より、共通の長さを $\rho$ とおくと、

$$ 25\rho^2=16\rho^2+24\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+9\rho^2 $$

したがって、

$$ 24\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

より、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0 $$

である。

したがって、中心角 $\angle BOC$ は $90^\circ$ である。

ただし、$\mathbf{a}=-(4\mathbf{b}+3\mathbf{c})/5$ であるから、点 $A$ は点 $B,C$ を結ぶ短い弧上ではなく、反対側の弧上にある。よって $\angle A$ が見込む弧 $BC$ は中心角 $90^\circ$ の短い弧である。

円周角の定理より、

$$ \angle A=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ $$

である。

解説

この問題の要点は、外心から弦に下ろした垂線の足が弦の中点になることを使う点である。これにより、$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ を辺の中点の位置ベクトルとして処理できる。

その後は、得られた

$$ 5\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} $$

と、外心から各頂点までの距離が等しいことを組み合わせる。係数 $5,4,3$ は直角三角形の比に対応しており、実際に $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=0$ が導かれる。

最後に、$\angle BOC=90^\circ$ から円周角の定理を使えば $\angle A=45^\circ$ となる。ただし、$A$ が短い弧 $BC$ 上にあると誤って考えると $135^\circ$ としてしまうため、関係式から $A$ の位置を確認する必要がある。

答え

(1)

$$ 5\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} $$

(2)

$$ \angle A=45^\circ $$