数学C 平面ベクトル 問題 76 解説

方針・初手

三角形の辺を順に進むベクトル $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}$ の和は $\vec{0}$ である。したがって、まず

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} $$

を用いて $\vec{c}$ を $\vec{a},\vec{b}$ で表す。

その後、与えられた内積条件に $\vec{c}=-\vec{a}-\vec{b}$ を代入して、$|\vec{a}|^2,|\vec{b}|^2$ を求める。

解法1

三角形 $ABC$ において、

$$ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0} $$

であるから、

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} $$

となる。よって、

$$ \vec{c}=-\vec{a}-\vec{b} $$

である。

次に、与えられた内積条件を用いる。

まず $\vec{c}\cdot\vec{a}=-3$ より、

$$ (-\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}=-3 $$

である。これを展開すると、

$$ -|\vec{a}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}=-3 $$

となる。$\vec{a}\cdot\vec{b}=-5$ だから、

$$ -|\vec{a}|^2+5=-3 $$

したがって、

$$ |\vec{a}|^2=8 $$

である。よって、

$$ |\vec{a}|=2\sqrt{2} $$

となる。

次に $\vec{b}\cdot\vec{c}=-4$ より、

$$ \vec{b}\cdot(-\vec{a}-\vec{b})=-4 $$

である。これを展開すると、

$$ -\vec{a}\cdot\vec{b}-|\vec{b}|^2=-4 $$

となる。$\vec{a}\cdot\vec{b}=-5$ だから、

$$ 5-|\vec{b}|^2=-4 $$

したがって、

$$ |\vec{b}|^2=9 $$

である。よって、

$$ |\vec{b}|=3 $$

となる。

ここで、$\vec{a}=\overrightarrow{BC}$、$\vec{b}=\overrightarrow{CA}$ であるから、

$$ BC=|\vec{a}|=2\sqrt{2},\qquad CA=|\vec{b}|=3 $$

である。

最後に、三角形 $ABC$ の面積を求める。辺 $BC,CA$ がなす角について考えると、面積は $\vec{a},\vec{b}$ のつくる平行四辺形の面積の半分である。

したがって、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

である。これに $|\vec{a}|^2=8,\ |\vec{b}|^2=9,\ \vec{a}\cdot\vec{b}=-5$ を代入すると、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{8\cdot 9-(-5)^2} $$

よって、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{72-25} =\frac{\sqrt{47}}{2} $$

である。

解説

この問題では、辺を表す3つのベクトルが三角形を一周することから

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} $$

となる点が初手である。これにより、未知の $\vec{c}$ を $\vec{a},\vec{b}$ だけで表せる。

また、辺の長さを求めるには $|\vec{a}|^2,\ |\vec{b}|^2$ を求めればよい。内積条件に $\vec{c}=-\vec{a}-\vec{b}$ を代入することで、直接計算できる。

面積は、2つのベクトルの作る平行四辺形の面積

$$ \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

の半分として求めるのが自然である。

答え

(1)

$$ \vec{c}=-\vec{a}-\vec{b} $$

(2)

$$ BC=2\sqrt{2},\qquad CA=3 $$

(3)

$$ S=\frac{\sqrt{47}}{2} $$