数学C 平面ベクトル問題 78 解説

方針・初手

点 $H$ は、直線 $AB$ 上の点

$$ t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB} $$

のうち、原点 $O$ からの距離が最小になる点である。したがって、まずその位置ベクトルの成分を $t$ で表し、長さの2乗を最小にする。

解法1

$\overrightarrow{OA}=(0,1)$、$\overrightarrow{OB}=\left(x,\dfrac12\right)$ であるから、

$$ t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB} = \left((1-t)x,\ t+\frac{1-t}{2}\right) \left((1-t)x,\ \frac{1+t}{2}\right) $$

である。

このベクトルの長さの2乗を $f(t)$ とおくと、

$$ f(t)=x^2(1-t)^2+\left(\frac{1+t}{2}\right)^2 $$

である。$x>0$ なので、$f(t)$ は $t$ の2次関数であり、最小値は $f'(t)=0$ を満たすところでとる。

$$ f'(t) = -2x^2(1-t)+\frac{1+t}{2} $$

よって、

$$ -2x^2(1-t)+\frac{1+t}{2}=0 $$

を解く。

$$ \begin{aligned} -4x^2(1-t)+(1+t)&=0 \\ 4x^2(1-t)&=1+t \\ 4x^2-4x^2t&=1+t \\ (4x^2+1)t&=4x^2-1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ t_0=\frac{4x^2-1}{4x^2+1} $$

である。

また、このときの $H$ の座標は

$$ \begin{aligned} H &= \left((1-t_0)x,\frac{1+t_0}{2}\right) \\ &= \left( \frac{2x}{4x^2+1}, \frac{4x^2}{4x^2+1} \right) \end{aligned} $$

である。

次に、$H$ が線分 $AB$ を2等分するとき、$H$ は $A$ と $B$ の中点である。点

$$ t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB} $$

において、$A$ と $B$ の係数が等しければ中点なので、

$$ t_0=1-t_0 $$

すなわち

$$ t_0=\frac12 $$

である。よって、

$$ \frac{4x^2-1}{4x^2+1}=\frac12 $$

を解く。

$$ \begin{aligned} 2(4x^2-1)&=4x^2+1 \\ 8x^2-2&=4x^2+1 \\ 4x^2&=3 \end{aligned} $$

$x>0$ より、

$$ x=\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。

最後に、$\triangle OAH$ の面積を考える。$O(0,0)$、$A(0,1)$ なので、底辺 $OA$ の長さは $1$ である。高さは点 $H$ から $y$ 軸までの距離、すなわち $H$ の $x$ 座標である。

したがって、

$$ \begin{aligned} [OAH] &= \frac12\cdot 1\cdot \frac{2x}{4x^2+1} \\ &= \frac{x}{4x^2+1} \end{aligned} $$

である。

これを $S(x)$ とおく。

$$ S(x)=\frac{x}{4x^2+1} $$

$x>0$ において微分すると、

$$ \begin{aligned} S'(x) &= \frac{(4x^2+1)-8x^2}{(4x^2+1)^2}\\ &= \frac{1-4x^2}{(4x^2+1)^2} \end{aligned} $$

である。分母は常に正なので、符号は $1-4x^2$ によって決まる。

$$ S'(x)=0 $$

となるのは

$$ 1-4x^2=0 $$

より、$x>0$ に注意して

$$ x=\frac12 $$

である。

また、$0<x<\dfrac12$ では $S'(x)>0$、$x>\dfrac12$ では $S'(x)<0$ であるから、$S(x)$ は $x=\dfrac12$ で最大となる。

解説

この問題の中心は、$t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}$ が直線 $AB$ 上の点を表していることに気づくことである。長さを最小にする点 $H$ は、原点から直線 $AB$ に下ろした垂線の足に相当するが、計算上は長さの2乗を最小化するだけでよい。

また、$H$ が $AB$ の中点である条件は、係数が等しいこと、すなわち $t_0=1-t_0$ と見ればよい。座標を直接比較してもよいが、係数で見る方が簡潔である。

面積については、$OA$ が $y$ 軸上の長さ $1$ の線分であるため、$\triangle OAH$ の面積は $H$ の $x$ 座標の半分になる。この処理によって、面積の最大化は

$$ \frac{x}{4x^2+1} $$

の最大化に帰着する。