数学C 平面ベクトル 問題 77 解説

方針・初手

まず $O$ を原点とし、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OP}$ を位置ベクトルで表す。与えられたベクトル方程式から $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合で表し、直線 $OP$ と直線 $AB$ の交点条件を用いて $C$ の位置を決める。

面積比は、三角形 $OAB$ と $PAB$ が共通の底辺 $AB$ をもつことに注目し、$O,P,C$ が一直線上にあることから高さの比に帰着させる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{u},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{v},\ \overrightarrow{OP}=\mathbf{p}$ とおく。

このとき

$$ \overrightarrow{PO}=-\mathbf{p},\quad \overrightarrow{PA}=\mathbf{u}-\mathbf{p},\quad \overrightarrow{PB}=\mathbf{v}-\mathbf{p} $$

であるから、与えられた式は

$$ (2-t)(-\mathbf{p})+2(1-t)(\mathbf{u}-\mathbf{p})+3t(\mathbf{v}-\mathbf{p})=\mathbf{0} $$

となる。$\mathbf{p}$ の係数をまとめると

$$ -4\mathbf{p}+2(1-t)\mathbf{u}+3t\mathbf{v}=\mathbf{0} $$

である。したがって

$$ \mathbf{p} = \frac{1-t}{2}\mathbf{u} + \frac{3t}{4}\mathbf{v} $$

を得る。

(1)

$C$ は直線 $OP$ 上にあるので、ある実数 $r$ を用いて

$$ \overrightarrow{OC}=r\mathbf{p} $$

と表せる。先ほどの式を代入すると

$$ \overrightarrow{OC} = r\frac{1-t}{2}\mathbf{u} + r\frac{3t}{4}\mathbf{v} $$

である。

一方、$C$ は直線 $AB$ 上にあるから、$\overrightarrow{OC}$ を $\mathbf{u},\mathbf{v}$ の一次結合で表したとき、係数の和は $1$ である。よって

$$ r\left(\frac{1-t}{2}+\frac{3t}{4}\right)=1 $$

であり、

$$ r\cdot \frac{t+2}{4}=1 $$

だから

$$ r=\frac{4}{t+2} $$

となる。したがって

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{2(1-t)}{t+2}\mathbf{u} + \frac{3t}{t+2}\mathbf{v} $$

である。

ここで、直線 $AB$ 上の点 $C$ を

$$ \overrightarrow{OC} = (1-\lambda)\mathbf{u} + \lambda \mathbf{v} $$

と表すと、

$$ \lambda=\frac{3t}{t+2} $$

である。よって

$$ |AC|=\lambda |AB|, \quad |BC|=|1-\lambda||AB| $$

であるから、

$$ \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|1-\lambda|}{\lambda} $$

となる。これに $\lambda=\dfrac{3t}{t+2}$ を代入すると

$$ \begin{aligned} \frac{|BC|}{|AC|} &= \frac{\left|1-\dfrac{3t}{t+2}\right|}{\dfrac{3t}{t+2}}\\ &= \frac{\left|\dfrac{2-2t}{t+2}\right|}{\dfrac{3t}{t+2}}\\ &= \frac{2|1-t|}{3t} \end{aligned} $$

である。

(2)

線分 $OC$ が $\angle AOB$ の二等分線であるとする。このとき $C$ は辺 $AB$ 上にある。

三角形 $OAC$ と三角形 $OCB$ は、底辺をそれぞれ $AC,CB$ と見れば、高さが共通である。したがって

$$ \frac{[OAC]}{[OCB]} = \frac{|AC|}{|CB|} $$

である。

一方、$OC$ が角の二等分線であるから

$$ \angle AOC=\angle COB $$

である。よって

$$ [OAC] = \frac{1}{2}|OA||OC|\sin\angle AOC $$

かつ

$$ [OCB] = \frac{1}{2}|OB||OC|\sin\angle COB $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{[OAC]}{[OCB]} &= \frac{|OA|}{|OB|}\\ &= \frac{a}{b} \end{aligned} $$

となる。

以上より

$$ \frac{|AC|}{|CB|}=\frac{a}{b} $$

である。したがって、$C$ は辺 $AB$ を $a:b$ に内分する点である。

(3)

(2) より

$$ |AC|:|CB|=a:b $$

であるから、

$$ \frac{|BC|}{|AC|}=\frac{b}{a} $$

である。

また、(2) の状況では $C$ は辺 $AB$ 上にあるので、(1) の式では $0<t<1$ の場合に対応する。したがって

$$ \frac{b}{a} = \frac{2(1-t)}{3t} $$

である。これを解くと

$$ 3bt=2a(1-t) $$

より

$$ 3bt=2a-2at $$

したがって

$$ (2a+3b)t=2a $$

であるから

$$ t=\frac{2a}{2a+3b} $$

を得る。

また、すでに求めた

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{4}{t+2}\overrightarrow{OP} $$

より

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{t+2}{4}\overrightarrow{OC} $$

である。$0<t<1$ であるから、$P$ は線分 $OC$ 上にある。よって

$$ \begin{aligned} \frac{|PC|}{|OC|} &= 1-\frac{|OP|}{|OC|}\\ &= 1-\frac{t+2}{4}\\ &= \frac{2-t}{4} \end{aligned} $$

である。

三角形 $OAB$ と三角形 $PAB$ は共通の底辺 $AB$ をもつ。さらに $O,P,C$ は一直線上にあり、$C$ は直線 $AB$ 上にあるため、$AB$ に対する高さの比は

$$ \frac{|PC|}{|OC|} $$

に等しい。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{|PC|}{|OC|}\\ &= \frac{2-t}{4} \end{aligned} $$

である。

ここに

$$ t=\frac{2a}{2a+3b} $$

を代入すると

$$ \begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{1}{4}\left(2-\frac{2a}{2a+3b}\right)\\ &= \frac{1}{4}\cdot \frac{2(2a+3b)-2a}{2a+3b}\\ &= \frac{1}{4}\cdot \frac{2a+6b}{2a+3b}\\ &= \frac{a+3b}{2(2a+3b)} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、与えられたベクトル方程式を位置ベクトルの式に直すことである。$\overrightarrow{PO},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$ はすべて始点が $P$ のベクトルなので、$O$ を原点にすると整理しやすい。

(1) では、$C$ が直線 $OP$ 上にあることと直線 $AB$ 上にあることを同時に使う。直線 $AB$ 上の点は、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の係数の和が $1$ になる形で表されるため、そこから $C$ の位置が決まる。

(3) では、面積比を直接求めようとせず、共通の底辺 $AB$ に対する高さの比に変換するのが要点である。$O,P,C$ が一直線上にあり、$C$ が $AB$ 上にあるため、高さの比は $|PC|:|OC|$ に等しくなる。

答え

(1)

$$ \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{2|1-t|}{3t} $$

(2)

$C$ は辺 $AB$ を $a:b$ に内分する点である。すなわち

$$ |AC|:|CB|=a:b $$

である。

(3)

$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{a+3b}{2(2a+3b)} $$