数学C 平面ベクトル 問題 80 解説

方針・初手

点 $P(x,y)$ は、与えられたベクトル方程式を成分ごとに解けば求まる。

その後、$\cos\angle APB$ は $\overrightarrow{PA}$ と $\overrightarrow{PB}$ の内積から求める。交点 $Q$ は直線 $AP$ が鉛直線になることを利用し、線分 $BC$ 上の点としてパラメータ表示する。

解法1

まず、

$$ A(1,2),\quad B(-2,-1),\quad C(3,1),\quad P(x,y) $$

より、

$$ \overrightarrow{AP}=(x-1,y-2) $$

$$ \overrightarrow{BP}=(x+2,y+1) $$

$$ \overrightarrow{CP}=(x-3,y-1) $$

である。

条件

$$ \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\vec{0} $$

に代入すると、

$$ (x-1,y-2)+2(x+2,y+1)+3(x-3,y-1)=(0,0) $$

である。成分ごとに計算すると、

$$ \begin{aligned} x\text{成分} &: (x-1)+2(x+2)+3(x-3)=6x-6,\\ y\text{成分} &: (y-2)+2(y+1)+3(y-1)=6y-3. \end{aligned} $$

したがって、

$$ 6x-6=0,\qquad 6y-3=0 $$

より、

$$ x=1,\qquad y=\frac{1}{2} $$

である。よって、

$$ P\left(1,\frac{1}{2}\right) $$

である。

次に、$\cos\angle APB$ を求める。

$$ \overrightarrow{PA}=A-P=\left(0,\frac{3}{2}\right) $$

$$ \overrightarrow{PB}=B-P=\left(-3,-\frac{3}{2}\right) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =0\cdot(-3)+\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right) =-\frac{9}{4} $$

である。また、

$$ |\overrightarrow{PA}|=\frac{3}{2} $$

$$ |\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(-3)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2} =\sqrt{9+\frac{9}{4}} =\frac{3\sqrt{5}}{2} $$

である。したがって、

$$ \cos\angle APB = \frac{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}} {|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|} = \frac{-\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{2}} -\frac{1}{\sqrt{5}} -\frac{\sqrt{5}}{5} $$

である。

次に、直線 $AP$ と線分 $BC$ の交点を $Q$ とする。

点 $A$ と点 $P$ はともに $x$ 座標が $1$ であるから、直線 $AP$ は

$$ x=1 $$

である。

線分 $BC$ 上の点を、実数 $t$ を用いて

$$ Q=B+t(C-B) $$

とおく。ただし $0\leqq t\leqq 1$ である。

ここで、

$$ C-B=(3,1)-(-2,-1)=(5,2) $$

だから、

$$ Q=(-2,-1)+t(5,2)=(-2+5t,-1+2t) $$

である。直線 $AP$ 上にあるので、$x=1$ より、

$$ -2+5t=1 $$

したがって、

$$ t=\frac{3}{5} $$

である。よって、

$$ Q=\left(1,-1+2\cdot\frac{3}{5}\right) =\left(1,\frac{1}{5}\right) $$

である。

このとき、

$$ BQ:QC=t:(1-t)=\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=3:2 $$

である。問題の形 $1:[ク]$ に合わせると、

$$ 3:2=1:\frac{2}{3} $$

であるから、

$$ [ク]=\frac{2}{3} $$

である。

最後に、点 $P$ が線分 $AQ$ をどの比に内分するかを求める。

$$ A(1,2),\quad P\left(1,\frac{1}{2}\right),\quad Q\left(1,\frac{1}{5}\right) $$

であり、3点は同一直線 $x=1$ 上にある。

距離を $y$ 座標の差で求めると、

$$ AP=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $$

$$ PQ=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10} $$

である。したがって、

$$ AP:PQ=\frac{3}{2}:\frac{3}{10}=5:1 $$

である。問題の形 $1:[ケ]$ に合わせると、

$$ 5:1=1:\frac{1}{5} $$

であるから、

$$ [ケ]=\frac{1}{5} $$

である。

解説

この問題の中心は、ベクトル方程式を座標成分に分けて処理することである。

$$ \overrightarrow{AP},\quad \overrightarrow{BP},\quad \overrightarrow{CP} $$

はいずれも終点が $P$ であるため、成分計算をすると $x,y$ の一次方程式になる。

また、交点 $Q$ については、点 $A$ と点 $P$ の $x$ 座標が等しいため、直線 $AP$ が $x=1$ になる。この点に気づくと、線分 $BC$ をパラメータ表示するだけで交点がすぐに求まる。

比については、実際には

$$ BQ:QC=3:2,\qquad AP:PQ=5:1 $$

である。問題が $1:[ク]$、$1:[ケ]$ の形で尋ねているため、第一項を $1$ にそろえる必要がある点に注意する。

答え

$$ [オ]=1 $$

$$ [カ]=\frac{1}{2} $$

$$ [キ]=-\frac{\sqrt{5}}{5} $$

$$ [ク]=\frac{2}{3} $$

$$ [ケ]=\frac{1}{5} $$