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数学C 平面ベクトル問題 81 解説

方針・初手

内心 $I$ は角の二等分線上にあるので，$D$ は $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点である。したがって，まず角の二等分線定理から $BD:DC$ と $BD$ を求める。

また，接点 $H$ については接線の長さの等しさを使う。最後に，$\overrightarrow{AI}$ と $\overrightarrow{AD}$ の比は，内接円の半径と $A$ から $BC$ への高さを比べて求める。

解法1

$AB=3,\ BC=4,\ CA=2$ とする。内心 $I$ は $\angle A$ の二等分線上にあるから，$AD$ は $\angle A$ の二等分線である。

角の二等分線定理より，

$$ BD:DC=AB:AC=3:2 $$

である。$BC=4$ より，

$$ BD=\frac{3}{3+2}\cdot 4=\frac{12}{5},\qquad DC=\frac{2}{3+2}\cdot 4=\frac{8}{5} $$

となる。

次に，内接円と $BC$ の接点を $H$ とする。半周長を $s$ とすると，

$$ s=\frac{AB+BC+CA}{2} =\frac{3+4+2}{2} =\frac{9}{2} $$

である。接線の長さの等しさより，$BH$ は

$$ BH=s-CA=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2} $$

である。

よって，$B$ から見た位置は

$$ BD=\frac{12}{5},\qquad BH=\frac{5}{2} $$

であるから，

$$ DH=BH-BD=\frac{5}{2}-\frac{12}{5} =\frac{25-24}{10} =\frac{1}{10} $$

となる。

次に，$\overrightarrow{AI}$ と $\overrightarrow{AD}$ の比を求める。三角形の面積を $S$ とすると，ヘロンの公式より，

$$ S=\sqrt{ \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2} } =\frac{3\sqrt{15}}{4} $$

である。

$BC=4$ だから，$A$ から $BC$ への高さを $h$ とすると，

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h $$

より，

$$ h=\frac{S}{2} =\frac{3\sqrt{15}}{8} $$

である。

また，内接円の半径を $r$ とすると，

$$ S=rs $$

より，

$$ r=\frac{S}{s} = \frac{\frac{3\sqrt{15}}{4}}{\frac{9}{2}} =\frac{\sqrt{15}}{6} $$

である。

点 $I$ は線分 $AD$ 上にあり，$I$ から $BC$ までの距離は $r$，$A$ から $BC$ までの距離は $h$ である。$A$ から $D$ へ進むと，$BC$ までの距離は比例的に減少するので，

$$ \frac{AI}{AD}=1-\frac{r}{h} $$

である。ここで，

$$ \frac{r}{h} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{3\sqrt{15}}{8}} = \frac{4}{9} $$

だから，

$$ \frac{AI}{AD}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9} $$

となる。したがって，

$$ \overrightarrow{AI}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AD} $$

である。

最後に，面積比を求める。座標を用いて，$B=(0,0),\ C=(4,0)$ とおく。$A=(x,y)$ とすると，

$$ x^2+y^2=9,\qquad (x-4)^2+y^2=4 $$

である。差をとると，

$$ x=\frac{21}{8} $$

となり，

$$ y=\frac{3\sqrt{15}}{8} $$

である。

また，$BH=\frac{5}{2}$ より，

$$ H=\left(\frac{5}{2},0\right) $$

である。$IH$ は $BC$ に垂直で，$IH=r=\frac{\sqrt{15}}{6}$ である。直線 $IH$ は $x=\frac{5}{2}$ であるから，$A$ から直線 $IH$ までの距離は

$$ \frac{21}{8}-\frac{5}{2} = \frac{21}{8}-\frac{20}{8} = \frac{1}{8} $$

である。

したがって，

$$ [AIH] = \frac{1}{2}\cdot IH\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{6}\cdot \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{15}}{96} $$

である。一方，

$$ [ABC]=\frac{3\sqrt{15}}{4} $$

だから，

$$ \frac{[AIH]}{[ABC]} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{96}}{\frac{3\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{72} $$

となる。

解説

この問題では，$D$ と $H$ がどちらも辺 $BC$ 上の点であることを利用し，$B$ からの距離で整理すると計算が簡潔になる。

$D$ は角の二等分線定理で決まり，$H$ は接線の長さの等しさで決まる。特に $D$ と $H$ は一致せず，

$$ BD=\frac{12}{5},\qquad BH=\frac{5}{2} $$

であるため，その差として $DH$ が求まる。

また，$\overrightarrow{AI}$ と $\overrightarrow{AD}$ の比は，線分上の位置を直接計算するよりも，$BC$ までの距離を用いる方が自然である。内心から $BC$ までの距離は内接円の半径 $r$ であり，$A$ から $BC$ までの高さ $h$ と比べれば，$AI:AD$ が求まる。