数学C 平面ベクトル 問題 108 解説

方針・初手

角の二等分線の方向ベクトルは、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の単位ベクトルの和で求められる。

今回は $O$ が原点なので、二等分線は原点を通る直線になる。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{OA}=(-2,1),\qquad \overrightarrow{OB}=(-4,8) $$

である。

それぞれの長さは

$$ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5} $$

$$ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-4)^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5} $$

である。

したがって、それぞれの単位ベクトルは

$$ \frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

$$ \frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|} = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $$

である。

角 $\angle AOB$ の内角の二等分線の方向ベクトルは、これらの和で与えられるので、

$$ \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \left(-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right) $$

となる。

これは $(-1,1)$ と同じ向きのベクトルである。

よって、求める直線は原点を通り、方向ベクトルが $(-1,1)$ の直線である。したがって傾きは

$$ \frac{1}{-1}=-1 $$

であるから、直線の方程式は

$$ y=-x $$

となる。

解法2

直線 $OA$ の方程式を求める。

$O(0,0)$ と $A(-2,1)$ を通るので、傾きは

$$ \frac{1-0}{-2-0}=-\frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ y=-\frac{1}{2}x $$

より、

$$ x+2y=0 $$

である。

同様に、直線 $OB$ の傾きは

$$ \frac{8-0}{-4-0}=-2 $$

であるから、

$$ y=-2x $$

すなわち

$$ 2x+y=0 $$

である。

角の二等分線上の点 $P(x,y)$ は、2直線 $OA,OB$ からの距離が等しい。したがって、

$$ \frac{|x+2y|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2x+y|}{\sqrt{2^2+1^2}} $$

である。

分母はどちらも $\sqrt{5}$ なので、

$$ |x+2y|=|2x+y| $$

となる。

よって、

$$ x+2y=2x+y $$

または

$$ x+2y=-(2x+y) $$

である。

それぞれ解くと、

$$ y=x $$

または

$$ y=-x $$

である。

このうち、$\angle AOB$ の内角の二等分線は、$OA$ と $OB$ の間にある直線である。

直線 $OA$ の傾きは $-\frac{1}{2}$、直線 $OB$ の傾きは $-2$ であり、その間にある傾きは $-1$ である。したがって、内角の二等分線は

$$ y=-x $$

である。

解説

角の二等分線は、2本の直線からの距離が等しい点の集合として求められる。ただし、その方法では内角の二等分線と外角の二等分線の両方が出るため、最後にどちらが $\angle AOB$ の二等分線かを判定する必要がある。

今回は、単位ベクトルの和を使うと内角の二等分線の方向が直接求まるので、解法1の方が簡潔である。

答え

$$ y=-x $$