数学C 平面ベクトル 問題 107 解説

方針・初手

$\angle AOD$ の二等分線に関して $A$ と対称な点が $P$ であるから、反射により半直線 $OA$ は半直線 $OD$ に移る。

したがって、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OD}$ と同じ向きで、長さは $\overrightarrow{OA}$ と等しいことを利用する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

正方形 $OACB$ の一辺の長さは $1$ であるから、$\mathbf{a},\mathbf{b}$ は互いに垂直な単位ベクトルである。また、

$$ \overrightarrow{OC}=\mathbf{a}+\mathbf{b} $$

である。

点 $D$ は辺 $CB$ を $2:1$ に内分する点であるから、$CD:DB=2:1$ である。よって内分点の公式より、

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{1\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}}{3} $$

となる。これに $\overrightarrow{OC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} &= \frac{1(\mathbf{a}+\mathbf{b})+2\mathbf{b}}{3}\\ &= \frac{1}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b} \end{aligned} $$

である。

ここで、$P$ は $\angle AOD$ の二等分線に関して $A$ と対称な点である。反射によって半直線 $OA$ は半直線 $OD$ に移るので、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OD}$ と同じ向きである。また、反射は距離を保つから、

$$ |\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=1 $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OD}|} $$

である。

$\mathbf{a},\mathbf{b}$ は互いに垂直な単位ベクトルなので、

$$ |\overrightarrow{OD}| = \left|\frac{1}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}\right| \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+1^2} \frac{\sqrt{10}}{3} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{\frac{1}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}}{\frac{\sqrt{10}}{3}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{a} \end{aligned} + \frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{b} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{\sqrt{10}}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{\sqrt{10}}\overrightarrow{OB} $$

である。

解説

この問題の要点は、角の二等分線に関する対称移動を「ベクトルの反射公式」で直接計算するのではなく、幾何的に見ることである。

$A$ は半直線 $OA$ 上にあり、その対称点 $P$ は半直線 $OD$ 上にある。また、対称移動では $O$ からの距離が変わらないため、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OD}$ 方向の単位ベクトルになる。

あとは、$D$ の位置ベクトルを内分点の公式で求め、長さで割ればよい。

答え

$$ ③=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad ④=\frac{3}{\sqrt{10}} $$