数学C 平面ベクトル 問題 110 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をそれぞれベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ とおく。

与えられた条件はベクトルの長さに関する等式なので、両辺を2乗して内積で表す。特に、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ と $|\mathbf{b}|^2$ を未知数として連立方程式を立てるのが自然である。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。このとき、条件より

$$ |\mathbf{a}|=1 $$

である。

また、

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|=1 $$

より、両辺を2乗して

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=1 $$

となる。左辺を内積で展開すると

$$ |\mathbf{a}|^2+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1 $$

である。$|\mathbf{a}|=1$ だから、

$$ 1+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1 $$

となり、

$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=0 $$

を得る。

次に、

$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|=1 $$

より、同様に両辺を2乗すると

$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=1 $$

である。左辺を展開して

$$ 4|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1 $$

となる。$|\mathbf{a}|=1$ より、

$$ 4+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1 $$

すなわち

$$ 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=-3 $$

を得る。

ここで

$$ x=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b},\qquad y=|\mathbf{b}|^2 $$

とおくと、次の連立方程式になる。

$$ \begin{cases} 2x+y=0 \\ 4x+y=-3 \end{cases} $$

下の式から上の式を引くと

$$ 2x=-3 $$

であるから、

$$ x=-\frac{3}{2} $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{2} $$

である。

また、$2x+y=0$ に $x=-\dfrac{3}{2}$ を代入すると

$$ 2\left(-\frac{3}{2}\right)+y=0 $$

より

$$ y=3 $$

である。したがって、

$$ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3} $$

となる。

次に、三角形 $OAB$ の面積を求める。2つのベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ が作る三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2} $$

である。

ここに

$$ |\mathbf{a}|^2=1,\qquad |\mathbf{b}|^2=3,\qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-\frac{3}{2} $$

を代入すると、

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{1\cdot 3-\left(-\frac{3}{2}\right)^2} $$

となる。

よって

$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{3-\frac{9}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{4} $$

である。

解説

この問題では、ベクトルの長さの条件をそのまま扱うより、2乗して内積に直すことが重要である。

特に

$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2 $$

と

$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=4|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2 $$

を使えば、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ と $|\mathbf{b}|^2$ に関する連立方程式に帰着できる。

面積については、角度を直接求めなくても

$$ |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$

を使えば計算できる。これは、$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ の2乗を内積で表したものである。

答え

$$ \text{ア}=-\frac{3}{2} $$

$$ \text{イ}=\sqrt{3} $$

$$ \text{ウ}=\frac{\sqrt{3}}{4} $$