数学C 平面ベクトル 問題 115 解説

方針・初手

垂線の足 $H$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}=\vec a$ と $\overrightarrow{OB}=\vec b$ の一次結合で表す。さらに $OH \perp AB$ より、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB}=0 $$

を用いて係数を決める。

解法1

まず、$AB=4$ より

$$ |\vec b-\vec a|^2=16 $$

である。一方、$|\vec a|=2,\ |\vec b|=3$ だから、

$$ |\vec b-\vec a|^2=|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec a|^2 $$

より、

$$ 16=9-2\vec a\cdot\vec b+4 $$

したがって、

$$ \vec a\cdot\vec b=-\frac{3}{2} $$

である。

次に、$H$ は辺 $AB$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH}=(1-t)\vec a+t\vec b $$

とおける。

また、$OH$ は $AB$ に垂直なので、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

が成り立つ。ここに $\overrightarrow{OH}=(1-t)\vec a+t\vec b$ を代入すると、

$$ {(1-t)\vec a+t\vec b}\cdot(\vec b-\vec a)=0 $$

である。

ここで、

$$ \vec a\cdot(\vec b-\vec a)=\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2=-\frac{3}{2}-4=-\frac{11}{2} $$

また、

$$ \vec b\cdot(\vec b-\vec a)=|\vec b|^2-\vec a\cdot\vec b=9+\frac{3}{2}=\frac{21}{2} $$

である。よって、

$$ (1-t)\left(-\frac{11}{2}\right)+t\left(\frac{21}{2}\right)=0 $$

となる。両辺を $2$ 倍して整理すると、

$$ -11+32t=0 $$

したがって、

$$ t=\frac{11}{32} $$

である。

ゆえに、

$$ \overrightarrow{OH} =\left(1-\frac{11}{32}\right)\vec a+\frac{11}{32}\vec b =\frac{21}{32}\vec a+\frac{11}{32}\vec b $$

となる。

解説

この問題では、垂線の足 $H$ が直線 $AB$ 上にあることから、まず $\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b$ の一次結合で置くのが自然である。

係数を決める条件は、$OH \perp AB$ である。したがって、$\overrightarrow{OH}$ と $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ の内積が $0$ になることを利用する。

また、$\vec a\cdot\vec b$ は直接与えられていないため、辺の長さ $AB=4$ から

$$ |\vec b-\vec a|^2 $$

を展開して求める必要がある。この処理が本問の基本となる。

答え

$$ \overrightarrow{OH}=\frac{21}{32}\vec a+\frac{11}{32}\vec b $$