数学C 平面ベクトル 問題 116 解説

方針・初手

与えられた $|\vec{a}-2\vec{b}|$ を2乗し、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を含む形に展開する。

面積は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ として、

$$ S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $$

を用いればよい。

解法1

まず、

$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b}) $$

であるから、

$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2 $$

となる。

条件より $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=2,\ |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}$ なので、

$$ 7=3^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\cdot 2^2 $$

すなわち、

$$ 7=9-4\vec{a}\cdot\vec{b}+16 $$

である。よって、

$$ 4\vec{a}\cdot\vec{b}=18 $$

したがって、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2} $$

である。

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。

内積の定義より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

だから、

$$ \frac{9}{2}=3\cdot 2\cos\theta $$

より、

$$ \cos\theta=\frac{3}{4} $$

である。

したがって、

$$ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt{7}}{4} $$

となる。

三角形 OAB の面積を $S$ とすると、

$$ S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $$

であるから、

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{7}}{4} =\frac{3\sqrt{7}}{4} $$

である。

解説

この問題では、$|\vec{a}-2\vec{b}|$ という条件をそのまま扱うのではなく、2乗して内積の式に展開することが重要である。

特に、

$$ |\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x} $$

を用いると、ベクトルの長さの条件から内積を求められる。

また、面積はベクトルのなす角を用いて

$$ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $$

と表せるため、内積から $\cos\theta$ を求め、そこから $\sin\theta$ を出せばよい。

答え

(1)

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2} $$

(2)

$$ \frac{3\sqrt{7}}{4} $$