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数学C 平面ベクトル問題 119 解説

方針・初手

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を基底として、内心・外心の位置ベクトルを表す。

内心については、三角形の内心の重心座標が辺の長さを用いて $a:b:c$ になることを使う。外心については、$OA=OB=OC$ から内積の方程式を立てる。

解法1

まず、$A$ を原点とみなし、点の位置を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の一次結合で表す。

(1) 内心の位置

内心 $I$ から三辺までの距離はすべて等しい。これを $\rho$ とすると、三角形 $IBC, ICA, IAB$ の面積比は

$$ [IBC]:[ICA]:[IAB] = \frac{1}{2}a\rho:\frac{1}{2}b\rho:\frac{1}{2}c\rho =a:b:c $$

である。

したがって、内心 $I$ の重心座標は

$$ I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c} $$

である。いま $A$ を基準にすると、$A$ の係数の部分は消えるので、

$$ \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB} + \frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC} $$

となる。

よって、

$$ r=\frac{b}{a+b+c},\qquad s=\frac{c}{a+b+c} $$

である。

(2) 外心の位置

$\angle A=\dfrac{\pi}{3}$ より、

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = bc\cos\frac{\pi}{3} =\frac{bc}{2} $$

である。

外心 $O$ について

$$ \overrightarrow{AO} = t\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AC} $$

とおく。

外心は $A,B,C$ から等距離にあるので、

$$ OA=OB,\qquad OA=OC $$

が成り立つ。

まず $OA=OB$ より、

$$ \left|\overrightarrow{AO}\right|^2 = \left|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}\right|^2 $$

である。これを展開すると、

$$ 2\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 =c^2 $$

となる。したがって、

$$ 2\left(t|\overrightarrow{AB}|^2+u\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)=c^2 $$

より、

$$ 2tc^2+ubc=c^2 $$

を得る。

同様に、$OA=OC$ より、

$$ 2\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 =b^2 $$

であるから、

$$ tbc+2ub^2=b^2 $$

を得る。

よって $t,u$ は連立方程式

$$ \begin{cases} 2tc^2+ubc=c^2,\\ tbc+2ub^2=b^2 \end{cases} $$

を満たす。

第1式を $c$ で、第2式を $b$ で割ると、

$$ \begin{cases} 2ct+bu=c,\\ ct+2bu=b \end{cases} $$

となる。

第1式を $2$ 倍したものから第2式を引くと、

$$ 3ct=2c-b $$

より、

$$ t=\frac{2c-b}{3c} $$

である。

また、第2式を $2$ 倍したものから第1式を引くと、

$$ 3bu=2b-c $$

より、

$$ u=\frac{2b-c}{3b} $$

である。

解説

内心は「三辺への距離が等しい」点なので、面積比を使うと自然に重心座標が出る。ここで、辺 $BC,CA,AB$ の長さがそれぞれ $a,b,c$ であるため、内心の重心座標は $a:b:c$ になる。

外心は「三頂点から等距離にある」点である。したがって、$OA=OB$ と $OA=OC$ をベクトルの内積で表すのが基本である。特に今回は $\angle A=\dfrac{\pi}{3}$ なので、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{bc}{2}$ と簡単に処理できる。