数学C 平面ベクトル 問題 120 解説

方針・初手

まず $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を内積から求め、面積と $AB$ を計算する。

点 $P$ は $\angle AOB$ の二等分線と $AB$ の交点なので、角の二等分線定理から $AP:PB=OA:OB$ を用いる。点 $I$ は内心なので、各頂点の位置ベクトルを対辺の長さで重み付けして表す。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。このとき

$$ |\mathbf{a}|=3,\quad |\mathbf{b}|=1,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2 $$

である。

$\angle AOB=\theta$ とすると、

$$ \cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} =\frac{2}{3} $$

であるから、

$$ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\frac{4}{9}} =\frac{\sqrt{5}}{3} $$

となる。したがって、$\triangle OAB$ の面積 $S$ は

$$ S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\theta =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{5}}{3} =\frac{\sqrt{5}}{2} $$

である。

次に、$AB$ の長さを求める。

$$ \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =\mathbf{b}-\mathbf{a} $$

より、

$$ \begin{aligned} AB^2 &=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|^2 \\ &=|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{a}|^2 \\ &=1-2\cdot 2+9 \\ &=6 \end{aligned} $$

したがって、

$$ AB=\sqrt{6} $$

である。

点 $P$ は $\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点である。角の二等分線定理より、

$$ AP:PB=OA:OB=3:1 $$

である。よって、$P$ は線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{1\cdot\overrightarrow{OA}+3\cdot\overrightarrow{OB}}{3+1} =\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4} $$

となる。

次に、内心 $I$ の位置ベクトルを求める。三角形の内心の位置ベクトルは、各頂点の位置ベクトルを対辺の長さで重み付けしたものである。

頂点 $O,A,B$ の対辺の長さはそれぞれ

$$ AB=\sqrt{6},\quad OB=1,\quad OA=3 $$

である。$\overrightarrow{OO}=\mathbf{0}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OI} &=\frac{AB\cdot\overrightarrow{OO}+OB\cdot\overrightarrow{OA}+OA\cdot\overrightarrow{OB}}{AB+OB+OA} \\ &=\frac{\sqrt{6}\cdot\mathbf{0}+1\cdot\mathbf{a}+3\cdot\mathbf{b}}{\sqrt{6}+1+3} \\ &=\frac{\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{4+\sqrt{6}} \end{aligned} $$

となる。

最後に、$PQ$ の長さを求める。半周長を $s$ とすると、

$$ s=\frac{OA+OB+AB}{2} =\frac{3+1+\sqrt{6}}{2} =\frac{4+\sqrt{6}}{2} $$

である。

内接円が辺 $AB$ と接する点を $Q$ とする。接線の長さの性質より、辺 $AB$ 上で

$$ AQ=s-OB $$

であるから、

$$ AQ=\frac{4+\sqrt{6}}{2}-1 =\frac{2+\sqrt{6}}{2} $$

である。

一方、$AP:PB=3:1$ より、

$$ AP=\frac{3}{4}AB =\frac{3\sqrt{6}}{4} $$

である。

ここで

$$ AQ-AP =\frac{2+\sqrt{6}}{2}-\frac{3\sqrt{6}}{4} =1-\frac{\sqrt{6}}{4} =\frac{4-\sqrt{6}}{4} $$

である。よって、

$$ PQ=\frac{4-\sqrt{6}}{4} $$

である。

解説

この問題では、内積から三角形の基本量を決めることが出発点である。特に、面積は $\sin\angle AOB$、辺 $AB$ は $|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$ によって求める。

点 $P$ は角の二等分線定理で処理するのが最も自然である。$\angle AOB$ の二等分線上にあるため、$AP:PB=OA:OB$ が使える。

点 $I$ は内心であるから、位置ベクトルは対辺の長さを重みとして表せる。このとき、頂点 $O$ の位置ベクトルが $\mathbf{0}$ であるため、式が簡単になる。

点 $Q$ は内接円の接点なので、辺上の長さは接線の長さの性質から求める。$P,Q$ はともに辺 $AB$ 上の点なので、$AP$ と $AQ$ の差を取れば $PQ$ が得られる。

答え

(1)

$$ S=\frac{\sqrt{5}}{2} $$

(2)

$$ AB=\sqrt{6} $$

(3)

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{4} $$

$$ \overrightarrow{OI} =\frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{4+\sqrt{6}} $$

(4)

$$ PQ=\frac{4-\sqrt{6}}{4} $$