数学C 平面ベクトル 問題 121 解説

方針・初手

座標軸上の点であるから、$OA=a,\ OB=b,\ OC=c$ であり、また辺の長さは三平方の定理で表せる。

まず条件

$$ AB^2+BC^2+AC^2=66 $$

を $a,b,c$ の式に直し、$a+b+c=9$ と組み合わせる。そこから $b+c$ と $bc$ を $a$ で表し、$b,c$ が正の実数として存在する条件を調べる。

解法1

点の座標より、

$$ AB^2=a^2+b^2,\quad BC^2=b^2+c^2,\quad AC^2=a^2+c^2 $$

である。したがって、

$$ AB^2+BC^2+AC^2=2(a^2+b^2+c^2) $$

であるから、条件より

$$ 2(a^2+b^2+c^2)=66 $$

すなわち

$$ a^2+b^2+c^2=33 $$

を得る。

(1)

$a+b+c=9$ より、

$$ b+c=9-a $$

である。

また、

$$ b^2+c^2=33-a^2 $$

であり、

$$ (b+c)^2=b^2+c^2+2bc $$

を用いると、

$$ (9-a)^2=33-a^2+2bc $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} 2bc &=(9-a)^2-(33-a^2)\\ &=81-18a+a^2-33+a^2\\ &=2a^2-18a+48 \end{aligned} $$

より、

$$ bc=a^2-9a+24 $$

である。

(2)

$b,c$ は、和が $9-a$、積が $a^2-9a+24$ である正の実数である。したがって $b,c$ は方程式

$$ t^2-(9-a)t+(a^2-9a+24)=0 $$

の2つの正の実数解である。

この方程式が実数解をもつ条件は、判別式を $D$ として

$$ D\geqq 0 $$

である。計算すると、

$$ \begin{aligned} D &=(9-a)^2-4(a^2-9a+24)\\ &=81-18a+a^2-4a^2+36a-96\\ &=-3a^2+18a-15\\ &=-3(a-1)(a-5) \end{aligned} $$

である。よって

$$ D\geqq 0 $$

より、

$$ 1\leqq a\leqq 5 $$

を得る。

さらに、この範囲では $9-a>0$ である。また、

$$ a^2-9a+24=\left(a-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0 $$

であるから、和と積がともに正であり、実数解 $b,c$ は正である。

したがって、四面体 $OABC$ が存在するための $a$ の範囲は

$$ 1\leqq a\leqq 5 $$

である。

(3)

四面体 $OABC$ は、3本の互いに垂直な辺 $OA,OB,OC$ をもつので、その体積 $V$ は

$$ V=\frac{1}{6}abc $$

である。

(1)

より

$$ bc=a^2-9a+24 $$

だから、

$$ V=\frac{1}{6}a(a^2-9a+24) $$

である。すなわち、

$$ V=\frac{a^3-9a^2+24a}{6} $$

である。ただし、(2) より $1\leqq a\leqq 5$ である。

(4)

(3)

より、

$$ V=\frac{1}{6}a(a^2-9a+24) $$

である。定数 $\frac{1}{6}$ は最大値を調べるうえで影響しないので、

$$ f(a)=a(a^2-9a+24) $$

とおく。すなわち、

$$ f(a)=a^3-9a^2+24a $$

である。

$1\leqq a\leqq 5$ において最大値を調べる。微分すると、

$$ f'(a)=3a^2-18a+24=3(a-2)(a-4) $$

である。したがって、候補は端点 $a=1,5$ と、臨界点 $a=2,4$ である。

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} f(1)&=16,\\ f(2)&=20,\\ f(4)&=16,\\ f(5)&=20 \end{aligned} $$

である。よって $f(a)$ の最大値は $20$ であり、

$$ V_{\max}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3} $$

である。

最大となるときの $a,b,c$ を求める。

(i)

$a=2$ のとき

$$ b+c=9-2=7,\quad bc=2^2-9\cdot 2+24=10 $$

である。よって $b,c$ は

$$ t^2-7t+10=0 $$

の解であるから、

$$ t=2,\ 5 $$

である。したがって、

$$ (b,c)=(2,5),(5,2) $$

である。

(ii)

$a=5$ のとき

$$ b+c=9-5=4,\quad bc=5^2-9\cdot 5+24=4 $$

である。よって $b,c$ は

$$ t^2-4t+4=0 $$

の解であるから、

$$ b=c=2 $$

である。

したがって、体積が最大となるのは

$$ (a,b,c)=(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2) $$

のときである。

解説

この問題の中心は、座標空間の図形条件を $a,b,c$ の対称式に直すことである。

$AB^2,BC^2,AC^2$ はそれぞれ2変数の平方和になるため、条件から $a^2+b^2+c^2=33$ が得られる。さらに $a+b+c=9$ と組み合わせれば、$b+c$ と $bc$ が $a$ だけで表せる。

存在範囲では、$b,c$ を「和と積が決まった2数」と見て、2次方程式の実数解条件に帰着するのが自然である。ここで判別式だけでなく、$b,c$ が正であることも確認する必要がある。

体積は座標軸に沿った三直交辺をもつ四面体なので、直方体の体積 $abc$ の $\frac{1}{6}$ である。最後は $a$ の1変数関数として最大値を調べればよい。

答え

(1)

$$ b+c=9-a,\quad bc=a^2-9a+24 $$

(2)

$$ 1\leqq a\leqq 5 $$

(3)

$$ V=\frac{a(a^2-9a+24)}{6} $$

(4)

$$ V_{\max}=\frac{10}{3} $$

そのとき、

$$ (a,b,c)=(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2) $$