数学C 平面ベクトル 問題 124 解説

方針・初手

$O$ を原点とする位置ベクトルで考える。外心が $O$ であるから、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の長さは等しい。この性質を使うと、垂心の位置ベクトルを内積の垂直条件から求められる。

以後、

$$ \overrightarrow{OA}=\mathbf{x},\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf{y},\quad \overrightarrow{OC}=\mathbf{z} $$

とおく。このとき

$$ |\mathbf{x}|=|\mathbf{y}|=|\mathbf{z}| $$

である。

解法1

(1)

重心 $G$ の位置ベクトルは、3頂点の位置ベクトルの平均である。したがって

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}}{3} $$

である。元の記号に戻すと、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3} $$

である。

(2)

$M$ は辺 $BC$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2} $$

である。また、(1)より

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG} &= \frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}}{3}\\ &= \frac{1}{3}\mathbf{x} \end{aligned} + \frac{2}{3}\cdot\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2} $$

となる。すなわち

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OM} $$

であるから、$G$ は直線 $AM$ 上にある。

次に、点 $K$ を

$$ \overrightarrow{OK}=\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z} $$

で定める。この $K$ が垂心であることを示す。

まず、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AK} &= \overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OA}\\ &= \mathbf{y}+\mathbf{z} \end{aligned} $$

であり、

$$ \overrightarrow{BC} = \mathbf{z}-\mathbf{y} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AK}\cdot\overrightarrow{BC} &= (\mathbf{y}+\mathbf{z})\cdot(\mathbf{z}-\mathbf{y})\\ &= |\mathbf{z}|^2-|\mathbf{y}|^2\\ &= 0 \end{aligned} $$

である。したがって $AK\perp BC$ である。

同様に、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{CA} &= (\mathbf{x}+\mathbf{z})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{z}) \\ &= |\mathbf{x}|^2-|\mathbf{z}|^2 \\ &= 0, \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CK}\cdot\overrightarrow{AB} &= (\mathbf{x}+\mathbf{y})\cdot(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \\ &= |\mathbf{y}|^2-|\mathbf{x}|^2 \\ &= 0 \end{aligned} $$

である。よって $BK\perp CA,\ CK\perp AB$ も成り立つ。

したがって、$K$ は三角形 $ABC$ の垂心であるから、

$$ K=H $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OH} = \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z} $$

であり、(1)より

$$ \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG} $$

となる。よって $O,G,H$ は一直線上にあり、$G$ は直線 $OH$ 上にある。

すでに $G$ は直線 $AM$ 上にもあるから、直線 $AM$ と直線 $OH$ が一点で交わる場合、その交点は $G$ である。

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GH} &= \overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OG}\\ &= 3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OG}\\ &= 2\overrightarrow{OG} \end{aligned} $$

であるから、

$$ OG:GH=1:2 $$

である。

なお、$\angle A=90^\circ$ の直角三角形の場合は $O=M,\ H=A$ となり、直線 $AM$ と直線 $OH$ は一致する。この場合、「交点が一点で $G$」という表現は厳密には成り立たないが、$G$ が両直線上にあり、$OG:GH=1:2$ であることは同じく成り立つ。

(3)

(2)で示したように、点

$$ \overrightarrow{OK} = \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z} $$

で定まる $K$ は垂心 $H$ である。したがって

$$ \overrightarrow{OH} = \mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z} $$

である。元の記号に戻すと、

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

である。

(4)

点 $P$ を

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c} $$

で定める。この $P$ が内心 $I$ であることを示す。

まず、辺 $BC$ 上の点 $D$ を

$$ BD:DC=c:b $$

となるように取る。角の二等分線の定理より、$AD$ は $\angle A$ の内角の二等分線である。

このとき $D$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{b+c} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c} \\ &= \frac{a\overrightarrow{OA}+(b+c)\overrightarrow{OD}}{a+b+c} \end{aligned} $$

となる。したがって $P$ は直線 $AD$ 上にある。つまり、$P$ は $\angle A$ の内角の二等分線上にある。

次に、辺 $CA$ 上の点 $E$ を

$$ AE:EC=c:a $$

となるように取る。角の二等分線の定理より、$BE$ は $\angle B$ の内角の二等分線である。

このとき

$$ \overrightarrow{OE} = \frac{a\overrightarrow{OA}+c\overrightarrow{OC}}{a+c} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c} \\ &= \frac{b\overrightarrow{OB}+(a+c)\overrightarrow{OE}}{a+b+c} \end{aligned} $$

である。したがって $P$ は直線 $BE$ 上にある。つまり、$P$ は $\angle B$ の内角の二等分線上にある。

よって $P$ は $\angle A$ と $\angle B$ の内角の二等分線の交点である。したがって $P$ は内心 $I$ である。

ゆえに

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c} $$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、外心 $O$ を原点に取ると

$$ |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}| $$

が使える点である。この等長性により、

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

を内積の垂直条件から直接確認できる。

また、重心は位置ベクトルの平均で表されるため、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OH} $$

となり、$O,G,H$ が一直線上に並ぶことが自然に出る。これはオイラー線の基本的な性質である。

内心については、辺の長さを重みとする内分点の公式を使う。角の二等分線の定理により、内心は頂点 $A,B,C$ に対して、それぞれ反対側の辺の長さ $a,b,c$ を重みとする点として表される。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3} $$

(2)

$G$ は直線 $AM$ と直線 $OH$ の両方にある。直線 $AM$ と直線 $OH$ が一点で交わる場合、その交点は $G$ である。また、

$$ OG:GH=1:2 $$

である。

(3)

$$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $$

(4)

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c} $$