数学C 平面ベクトル 問題 125 解説

方針・初手

与えられたベクトル等式

$$ \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0} $$

から、まず $\vec{c}$ を $\vec{a},\vec{b}$ で表す。次に、その両辺の大きさを2乗して、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求める。

解法1

与えられた等式

$$ \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0} $$

より、

$$ 3\vec{c}= -\vec{a}-2\vec{b} $$

である。したがって、

$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b} $$

となる。

ここで、$|\vec{c}|=6k$ であるから、両辺の大きさを2乗して

$$ |\vec{c}|^2=36k^2 $$

である。

一方、

$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}(\vec{a}+2\vec{b}) $$

なので、

$$ |\vec{c}|^2=\frac{1}{9}|\vec{a}+2\vec{b}|^2 $$

である。よって、

$$ \frac{1}{9}|\vec{a}+2\vec{b}|^2=36k^2 $$

より、

$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=324k^2 $$

となる。

左辺を内積で展開すると、

$$ \begin{aligned} |\vec{a}+2\vec{b}|^2 &=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})\\ &=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2 \end{aligned} $$

である。$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3$ より、

$$ |\vec{a}|^2=4,\qquad |\vec{b}|^2=9 $$

だから、

$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=4+4\vec{a}\cdot\vec{b}+36 $$

すなわち、

$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=40+4\vec{a}\cdot\vec{b} $$

である。

これが $324k^2$ に等しいので、

$$ 40+4\vec{a}\cdot\vec{b}=324k^2 $$

したがって、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=81k^2-10 $$

となる。

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

である。$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3$ より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=6\cos\theta $$

であるから、

$$ 6\cos\theta=81k^2-10 $$

よって、

$$ \cos\theta=\frac{81k^2-10}{6} $$

となる。

したがって、$0\leqq \theta\leqq \pi$ より、

$$ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{81k^2-10}{6}\right) $$

である。

なお、実際にこのようなベクトルが存在するためには

$$ -1\leqq \frac{81k^2-10}{6}\leqq 1 $$

でなければならない。これを解くと、

$$ -6\leqq 81k^2-10\leqq 6 $$

より、

$$ 4\leqq 81k^2\leqq 16 $$

である。$k>0$ だから、

$$ \frac{2}{9}\leqq k\leqq \frac{4}{9} $$

である。

解説

この問題では、ベクトル等式から $\vec{c}$ を直接表し、その長さの条件を使って内積を求めるのが自然である。

重要なのは、ベクトルの大きさの条件をそのまま使うのではなく、2乗して内積の形に展開することである。特に、

$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2 $$

という展開がこの問題の中心である。

また、なす角 $\theta$ は内積の公式

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$

から求める。$\theta$ の範囲が $0\leqq \theta\leqq \pi$ と指定されているため、$\cos^{-1}$ を用いて一意に表せる。

答え

$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b} $$

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=81k^2-10 $$

$$ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{81k^2-10}{6}\right) $$

ただし、ベクトルが存在するためには

$$ \frac{2}{9}\leqq k\leqq \frac{4}{9} $$

である。