数学C 平面ベクトル問題 126 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をそれぞれ $\vec{a},\vec{b}$ とおく。点 $C$ は点 $A$ を通り直線 $OB$ と平行な直線上にあるので、$\overrightarrow{OC}$ は $\vec{a}+t\vec{b}$ と表せる。あとは $|\overrightarrow{OC}|=5$ と $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}<0$ から $t$ を決めればよい。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。このとき

$$ |\vec{a}|=3,\quad |\vec{b}|=\sqrt{2},\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=2 $$

である。

点 $C$ は点 $A$ を通り、直線 $OB$ と平行な直線上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OC}=\vec{a}+t\vec{b} $$

と表せる。

$|\overrightarrow{OC}|=5$ より、

$$ |\vec{a}+t\vec{b}|^2=25 $$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} |\vec{a}+t\vec{b}|^2 &=|\vec{a}|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2 \\ &=9+4t+2t^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ 9+4t+2t^2=25 $$

すなわち

$$ t^2+2t-8=0 $$

となる。よって

$$ (t-2)(t+4)=0 $$

より、

$$ t=2,-4 $$

である。

また、条件 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}<0$ を用いると、

$$ \vec{b}\cdot(\vec{a}+t\vec{b})<0 $$

である。したがって、

$$ 2+2t<0 $$

より

$$ t<-1 $$

である。よって $t=-4$ が選ばれる。

したがって、

$$ \overrightarrow{OC}=\vec{a}-4\vec{b} $$

すなわち

$$ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}-4\overrightarrow{OB} $$

である。

次に、$\cos\angle AOC$ を求める。$\angle AOC$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC}$ のなす角であるから、

$$ \cos\angle AOC= \frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} &=\vec{a}\cdot(\vec{a}-4\vec{b}) \\ &=|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b} \\ &=9-8 \\ &=1 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \cos\angle AOC=\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{15} $$

である。

次に、$\triangle OAC$ の面積を求める。2つのベクトル $\vec{a},\vec{c}$ がつくる三角形の面積は

$$ \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{c}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{c})^2} $$

である。ここでは $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ とすると、$|\vec{a}|=3,|\vec{c}|=5,\vec{a}\cdot\vec{c}=1$ であるから、

$$ \begin{aligned} [OAC] &=\frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot 5^2-1^2} \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{225-1} \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{224} \\ &=2\sqrt{14} \end{aligned} $$

である。

最後に、$\triangle OBD$ の面積を求める。点 $D$ は直線 $OA$ 上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD}=s\vec{a} $$

と表せる。

一方、点 $D$ は直線 $BC$ 上にもある。$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{OC}=\vec{a}-4\vec{b}$ であるから、直線 $BC$ 上の点は、ある実数 $u$ を用いて

$$ \vec{b}+u{(\vec{a}-4\vec{b})-\vec{b}} $$

と表せる。すなわち

$$ \overrightarrow{OD}=\vec{b}+u(\vec{a}-5\vec{b}) $$

である。

したがって、

$$ s\vec{a}=\vec{b}+u(\vec{a}-5\vec{b}) $$

となる。右辺を整理すると、

$$ s\vec{a}=u\vec{a}+(1-5u)\vec{b} $$

である。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないので、係数を比較して

$$ s=u,\quad 1-5u=0 $$

となる。よって

$$ u=\frac{1}{5},\quad s=\frac{1}{5} $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{5}\vec{a} $$

である。

$\triangle OBD$ の面積は、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ と $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{5}\vec{a}$ がつくる三角形の面積である。まず、$\vec{a},\vec{b}$ がつくる平行四辺形の面積は

$$ \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} &=\sqrt{3^2\cdot(\sqrt{2})^2-2^2} \\ &=\sqrt{18-4} \\ &=\sqrt{14} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} [OBD] &=\frac{1}{2}\left|\vec{b}\times \frac{1}{5}\vec{a}\right| \\ &=\frac{1}{10}|\vec{a}\times\vec{b}| \\ &=\frac{\sqrt{14}}{10} \end{aligned} $$

である。

解説

点 $C$ が「点 $A$ を通り、直線 $OB$ と平行な直線上」にあることから、$\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ と置くのが初手である。ここで $|\overrightarrow{OC}|=5$ だけでは $t$ が2通り出るため、$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}<0$ によって正しい方を選ぶ必要がある。

また、面積は座標を設定しなくても、内積から

$$ |\vec{x}\times\vec{y}|^2=|\vec{x}|^2|\vec{y}|^2-(\vec{x}\cdot\vec{y})^2 $$

を使えば求められる。最後の点 $D$ は、直線 $OA$ 上と直線 $BC$ 上という2通りの表し方を作り、係数比較するのが自然である。