数学C 平面ベクトル問題 129 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をベクトルで置く。$\angle AOB$ が鈍角であるため、点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足 $C$ は、点 $O$ から見て $B$ と反対側にある。この符号を正しく扱うことが最初の要点である。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b$ とおく。このとき

$$ |\mathbf a|=3,\qquad |\mathbf b|=t $$

である。

点 $C$ は $\mathbf a$ の直線 $OB$ 上への正射影である。$\angle AOB$ は鈍角なので、$\overrightarrow{OC}$ は $\mathbf b$ と反対向きであり、$OC=1$ より

$$ \overrightarrow{OC}=-\frac{1}{t}\mathbf b $$

である。一方、正射影の公式より

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC} &= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b\\ &= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{t^2}\mathbf b \end{aligned} $$

であるから、

$$ \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{t^2}=-\frac{1}{t} $$

となる。よって

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=-t $$

である。

次に、$P$ は線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3} $$

である。

点 $R$ は直線 $OB$ 上にあるので、実数 $\lambda$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR}=\lambda \mathbf b $$

とおける。また、$AR\perp OP$ より

$$ (\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OP}=0 $$

である。これに代入すると、

$$ (\lambda\mathbf b-\mathbf a)\cdot \frac{\mathbf a+2\mathbf b}{3}=0 $$

すなわち

$$ (\lambda\mathbf b-\mathbf a)\cdot(\mathbf a+2\mathbf b)=0 $$

である。展開して、

$$ \lambda(\mathbf a\cdot\mathbf b+2|\mathbf b|^2)-(|\mathbf a|^2+2\mathbf a\cdot\mathbf b)=0 $$

となる。ここに

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=-t,\qquad |\mathbf a|^2=9,\qquad |\mathbf b|^2=t^2 $$

を代入すると、

$$ \lambda(-t+2t^2)-(9-2t)=0 $$

である。したがって

$$ \lambda=\frac{9-2t}{t(2t-1)} $$

である。ただし、$t=\frac12$ のときは分母が $0$ となり、実際に $OP$ と $OB$ の位置関係から $R$ は定まらない。

よって、$O$ から $R$ までの有向距離は

$$ \lambda t=\frac{9-2t}{2t-1} $$

である。したがって、線分 $OR$ の長さは

$$ OR=\left|\frac{9-2t}{2t-1}\right| $$

である。

最後に、線分 $OB$ の中点を $M$ とする。$R$ が線分 $MB$ 上にあるためには、$O$ から $B$ 向きに測った $R$ の有向距離

$$ x=\frac{9-2t}{2t-1} $$

が

$$ \frac{t}{2}\le x\le t $$

を満たせばよい。

まず $0<t<\frac12$ のとき、$2t-1<0$ かつ $9-2t>0$ なので $x<0$ となり、$R$ は線分 $MB$ 上にない。また $t\ge \frac92$ のときも $x\le 0$ となるため不適である。

したがって、考えるべき範囲は

$$ \frac12<t<\frac92 $$

である。この範囲では $2t-1>0$ なので、不等式をそのまま処理できる。

まず

$$ \frac{9-2t}{2t-1}\ge \frac{t}{2} $$

より、

$$ 2(9-2t)\ge t(2t-1) $$

である。整理すると

$$ 2t^2+3t-18\le 0 $$

となる。この二次方程式の解は

$$ t=\frac{-3\pm 3\sqrt{17}}{4} $$

であるから、$t>0$ の範囲では

$$ t\le \frac{3(\sqrt{17}-1)}{4} $$

である。

次に

$$ \frac{9-2t}{2t-1}\le t $$

より、

$$ 9-2t\le t(2t-1) $$

である。整理すると

$$ 2t^2+t-9\ge 0 $$

となる。この二次方程式の解は

$$ t=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{4} $$

であるから、$t>0$ の範囲では

$$ t\ge \frac{\sqrt{73}-1}{4} $$

である。

以上より、求める範囲は

$$ \frac{\sqrt{73}-1}{4}\le t\le \frac{3(\sqrt{17}-1)}{4} $$

である。

解説

この問題では、$C$ が $OB$ 上ではなく、$OB$ の延長線上のうち $O$ をはさんで $B$ と反対側にある点であることが重要である。ここを正にしてしまうと、内積の符号が逆になり、以後の計算がすべてずれる。

また、$R$ の位置を求めるときは、$\overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OB}$ と置いて有向距離で考えると処理しやすい。最後に $R$ が線分 $MB$ 上にある条件へ移るときだけ、有向距離が $\frac{t}{2}$ 以上 $t$ 以下であることを使えばよい。