数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 3 解説

方針・初手

点の位置を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合で表す。重心の位置ベクトルを計算し、$G_1$ が辺 $AB$ 上にある条件を「係数の和が $1$ になること」として処理する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。点 $C$ は

$$ \overrightarrow{OC}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b} $$

である。

三角形 $OAB,OAC,OCB$ の重心はそれぞれ

$$ \overrightarrow{OG}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{3} $$

$$ \overrightarrow{OG_1} =\frac{\mathbf{a}+\overrightarrow{OC}}{3} =\frac{(1+\alpha)\mathbf{a}+\beta\mathbf{b}}{3} $$

$$ \overrightarrow{OG_2} =\frac{\overrightarrow{OC}+\mathbf{b}}{3} =\frac{\alpha\mathbf{a}+(\beta+1)\mathbf{b}}{3} $$

である。

まず $G_1$ が辺 $AB$ 上にある条件を求める。点が辺 $AB$ 上にあるとき、その位置ベクトルは

$$ (1-t)\mathbf{a}+t\mathbf{b} $$

と表される。したがって、$\mathbf{a},\mathbf{b}$ の係数の和が $1$ でなければならない。

$G_1$ について係数の和を見ると、

$$ \frac{1+\alpha}{3}+\frac{\beta}{3}=1 $$

であるから、

$$ 1+\alpha+\beta=3 $$

となる。よって

$$ \beta=2-\alpha $$

である。

また、$\alpha,\beta$ は正の数なので、

$$ \beta=2-\alpha>0 $$

より、

$$ 0<\alpha<2 $$

である。

次に、この条件のもとで三角形 $GG_1G_2$ の面積を求める。$\beta=2-\alpha$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{1}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b} $$

$$ \overrightarrow{OG_1} =\frac{1+\alpha}{3}\mathbf{a}+\frac{2-\alpha}{3}\mathbf{b} $$

$$ \overrightarrow{OG_2} =\frac{\alpha}{3}\mathbf{a}+\frac{3-\alpha}{3}\mathbf{b} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{GG_1} =\overrightarrow{OG_1}-\overrightarrow{OG} =\frac{\alpha}{3}\mathbf{a}+\frac{1-\alpha}{3}\mathbf{b} $$

$$ \overrightarrow{GG_2} =\overrightarrow{OG_2}-\overrightarrow{OG} =\frac{\alpha-1}{3}\mathbf{a}+\frac{2-\alpha}{3}\mathbf{b} $$

となる。

$\mathbf{a},\mathbf{b}$ を基準にした係数の行列式を計算すると、

$$ \begin{aligned} \left| \begin{vmatrix} \frac{\alpha}{3} & \frac{\alpha-1}{3} \\ \frac{1-\alpha}{3} & \frac{2-\alpha}{3} \end{vmatrix} \right| &= \left| \frac{\alpha(2-\alpha)-(1-\alpha)(\alpha-1)}{9} \right| \\ &= \left| \frac{\alpha(2-\alpha)+(\alpha-1)^2}{9} \right| \\ &= \frac{1}{9}. \end{aligned} $$

これは、三角形 $GG_1G_2$ の面積が三角形 $OAB$ の面積の $\frac{1}{9}$ 倍であることを意味する。

よって、

$$ [GG_1G_2]=\frac{S}{9} $$

である。

解説

この問題の中心は、重心の位置ベクトルを正確に書き出すことである。特に $G_1$ が辺 $AB$ 上にある条件は、$G_1$ の位置ベクトルを $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の一次結合で見たとき、係数の和が $1$ になることから得られる。

面積計算では、$\mathbf{a},\mathbf{b}$ を基準にした係数の行列式を使うと簡潔に処理できる。係数行列の行列式が $\frac{1}{9}$ になるため、元の三角形 $OAB$ の面積 $S$ に対して、三角形 $GG_1G_2$ の面積は $\frac{S}{9}$ となる。

答え

(1)

$$ \beta=2-\alpha \quad (0<\alpha<2) $$

(2)

$$ \frac{S}{9} $$