数学C 平面ベクトル(斜交座標) 問題 4 解説

方針・初手

回転の問題であるが、$O$ を原点とし、$\vec a=\overrightarrow{OA}$ と $\vec c=\overrightarrow{OC}$ を直交する基底として扱えばよい。$|\vec a|=|\vec c|=1$ であり、$\vec c$ は $\vec a$ を反時計回りに $\dfrac{\pi}{2}$ 回転したベクトルである。

この基底で各点の位置ベクトルを表し、交点は直線のパラメータ表示で求める。

解法1

$\vec a$ と $\vec c$ は互いに垂直で、どちらも長さ $1$ である。

また、$\vec b$ は $\vec a$ を反時計回りに $\dfrac{\pi}{6}$ 回転したベクトルであるから、$\vec a,\vec c$ を基底として

$$ \vec b=\cos \frac{\pi}{6}\,\vec a+\sin \frac{\pi}{6}\,\vec c $$

と表せる。したがって

$$ \vec b=\frac{\sqrt3}{2}\vec a+\frac12\vec c $$

である。

次に、$\triangle OAB$ の面積は、$OA=OB=1$、$\angle AOB=\dfrac{\pi}{6}$ より

$$ \frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi}{6} =\frac14 $$

である。

また、$\angle BOC=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$ であるから、$\triangle OBC$ の面積は

$$ \frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt3}{4} $$

である。

次に、点 $D$ を求める。

$D$ は直線 $AC$ と直線 $OB$ の交点である。直線 $AC$ 上の点は、実数 $u$ を用いて

$$ (1-u)\vec a+u\vec c $$

と表せる。また、直線 $OB$ 上の点は、実数 $\lambda$ を用いて

$$ \lambda \vec b $$

と表せる。

したがって、$D$ について

$$ \lambda \vec b=(1-u)\vec a+u\vec c $$

が成り立つ。ここで

$$ \vec b=\frac{\sqrt3}{2}\vec a+\frac12\vec c $$

を代入すると

$$ \lambda\left(\frac{\sqrt3}{2}\vec a+\frac12\vec c\right) =(1-u)\vec a+u\vec c $$

となる。$\vec a,\vec c$ の係数を比較して

$$ \begin{cases} \dfrac{\sqrt3}{2}\lambda=1-u,\\ \dfrac12\lambda=u \end{cases} $$

を得る。第2式より $u=\dfrac{\lambda}{2}$ であり、これを第1式に代入すると

$$ \frac{\sqrt3}{2}\lambda=1-\frac{\lambda}{2} $$

である。よって

$$ \frac{\sqrt3+1}{2}\lambda=1 $$

となるから

$$ \lambda=\frac{2}{\sqrt3+1}=\sqrt3-1 $$

である。

したがって

$$ \vec d=\overrightarrow{OD}=\lambda\vec b=(\sqrt3-1)\vec b $$

であり、$|\vec b|=1$ より

$$ |\vec d|=\sqrt3-1 $$

である。

次に、点 $E$ を求める。

$E$ は、点 $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線と、直線 $OA$ の交点である。直線 $AC$ の方向ベクトルは

$$ \vec c-\vec a $$

であるから、点 $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上の点は、実数 $r$ を用いて

$$ \vec b+r(\vec c-\vec a) $$

と表せる。

一方、直線 $OA$ 上の点は実数 $\mu$ を用いて

$$ \mu\vec a $$

と表せる。したがって

$$ \mu\vec a=\vec b+r(\vec c-\vec a) $$

である。

$\vec b=\dfrac{\sqrt3}{2}\vec a+\dfrac12\vec c$ を代入すると

$$ \mu\vec a =\left(\frac{\sqrt3}{2}\vec a+\frac12\vec c\right)+r(\vec c-\vec a) $$

である。整理して

$$ \mu\vec a =\left(\frac{\sqrt3}{2}-r\right)\vec a+\left(\frac12+r\right)\vec c $$

となる。

$\vec c$ の係数が $0$ でなければならないから

$$ \frac12+r=0 $$

より

$$ r=-\frac12 $$

である。したがって

$$ \mu=\frac{\sqrt3}{2}-\left(-\frac12\right) =\frac{\sqrt3+1}{2} $$

である。

よって

$$ \vec e=\overrightarrow{OE}=\frac{\sqrt3+1}{2}\vec a $$

であり、

$$ |\vec e|=\frac{\sqrt3+1}{2} $$

である。

最後に、点 $P$ の存在する領域の面積を求める。

条件

$$ \overrightarrow{OP}=s\vec e+t\vec c,\qquad 0\leq s,\quad 0\leq t,\quad 1\leq s+t\leq 2 $$

を考える。$s,t$ 平面において、条件 $0\leq s,\ 0\leq t,\ 1\leq s+t\leq 2$ が表す領域は、第1象限内の三角形 $s+t\leq 2$ から、三角形 $s+t<1$ を除いた部分である。

その面積は

$$ \frac12\cdot 2^2-\frac12\cdot 1^2 =2-\frac12 =\frac32 $$

である。

一方、$\vec e$ は $\vec a$ と同じ向きであり、$\vec c$ は $\vec a$ に垂直である。したがって $\vec e$ と $\vec c$ は垂直である。

$s,t$ 平面での面積は、写像

$$ (s,t)\mapsto s\vec e+t\vec c $$

によって

$$ |\vec e|,|\vec c|\sin\frac{\pi}{2} $$

倍される。ここで $|\vec c|=1$、$|\vec e|=\dfrac{\sqrt3+1}{2}$ であるから、面積倍率は

$$ \frac{\sqrt3+1}{2} $$

である。

よって、点 $P$ の存在する領域の面積は

$$ \frac32\cdot \frac{\sqrt3+1}{2} =\frac{3(\sqrt3+1)}{4} $$

である。

解説

この問題では、回転を直接図形的に追うよりも、$\vec a,\vec c$ を直交基底として使うのが最も整理しやすい。特に $\vec c$ は $\vec a$ を $90^\circ$ 回転したベクトルなので、$\vec a,\vec c$ は座標軸のように扱える。

交点 $D,E$ は、直線をパラメータ表示して係数比較するのが確実である。図から長さを推測すると誤りやすいので、$\vec a,\vec c$ の係数を比較して求めるのがよい。

最後の領域の面積は、$s,t$ 平面上の領域の面積を先に求め、その後で線形変換による面積倍率をかける。$\vec e$ と $\vec c$ が垂直であるため、倍率は単に $|\vec e||\vec c|$ になる。

答え

(1)

$$ \vec b=\frac{\sqrt3}{2}\vec a+\frac12\vec c $$

(2)

$$ \triangle OAB=\frac14,\qquad \triangle OBC=\frac{\sqrt3}{4} $$

(3)

$$ |\vec d|=\sqrt3-1,\qquad |\vec e|=\frac{\sqrt3+1}{2} $$

(4)

$$ \frac{3(\sqrt3+1)}{4} $$