数学C 平面の位置ベクトル 問題 1 解説

方針・初手

条件式

$$ l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\vec{0} $$

は、点 $P$ が三角形 $ABC$ の重心座標

$$ P=\frac{lA+mB+nC}{l+m+n} $$

で表されることを意味する。したがって、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基準にして $\overrightarrow{AP}$ を表し、直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点 $Q$ を求める。

解法1

$A$ を基準にして

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c} $$

とおく。

条件式を位置ベクトルで書くと、

$$ l(A-P)+m(B-P)+n(C-P)=0 $$

より、

$$ (l+m+n)P=lA+mB+nC $$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AP} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{l+m+n} =\frac{m\mathbf{b}+n\mathbf{c}}{l+m+n} $$

となる。

点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AP} =\frac{t}{l+m+n}(m\mathbf{b}+n\mathbf{c}) $$

と表せる。

一方、$Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数の和が $1$ である。よって

$$ \frac{tm}{l+m+n}+\frac{tn}{l+m+n}=1 $$

すなわち

$$ t=\frac{l+m+n}{m+n} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\mathbf{b}+n\mathbf{c}}{m+n} $$

となる。元の記号に戻すと、

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{m+n} $$

である。

次に、三角形 $ABQ$ の面積を求める。上の式より

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} +\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AC} $$

であるから、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AQ}$ がつくる面積は、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ がつくる面積の $\dfrac{n}{m+n}$ 倍である。

したがって、$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、

$$ [ABQ]=\frac{n}{m+n}S $$

である。

最後に、面積比から $l:m:n$ を求める。

点 $P$ の重心座標は

$$ P=\frac{lA+mB+nC}{l+m+n} $$

である。重心座標の係数は、それぞれ向かい合う小三角形の面積比に対応する。すなわち、

$$ [PBC]:[PCA]:[PAB]=l:m:n $$

である。

問題では

$$ [PAB]:[PBC]:[PCA]=3:2:5 $$

であるから、順序をそろえると

$$ [PBC]:[PCA]:[PAB]=2:5:3 $$

である。よって

$$ l:m:n=2:5:3 $$

となる。

解説

この問題の中心は、条件式を重心座標として読むことである。

$$ l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\vec{0} $$

は、点 $P$ が $A,B,C$ を重み $l,m,n$ で平均した点であることを表す。したがって、$l,m,n$ はそれぞれ頂点 $A,B,C$ に対応する重心座標であり、面積比では向かい側の三角形

$$ [PBC],\quad [PCA],\quad [PAB] $$

に対応する。

特に、$[PAB]$ は頂点 $C$ に対応するので係数は $n$、$[PBC]$ は頂点 $A$ に対応するので係数は $l$、$[PCA]$ は頂点 $B$ に対応するので係数は $m$ である。この対応順を取り違えないことが重要である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{m+n} $$

(2)

$$ [ABQ]=\frac{n}{m+n}S $$

(3)

$$ l:m:n=2:5:3 $$