数学C 平面の位置ベクトル 問題 2 解説

方針・初手

与えられたベクトル方程式を、位置ベクトルを用いて点 $P$ の位置として表す。すると $P$ は $A,B,C$ を係数つきで表した形になり、その係数が三角形に対する重心座標になる。

解法1

点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。

条件より、

$$ 3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC} = k\overrightarrow{BC} $$

であるから、

$$ 3(\vec{a}-\vec{p})+4(\vec{b}-\vec{p})+5(\vec{c}-\vec{p}) = k(\vec{c}-\vec{b}) $$

となる。整理すると、

$$ 3\vec{a}+4\vec{b}+5\vec{c}-12\vec{p} = k\vec{c}-k\vec{b} $$

である。よって、

$$ 12\vec{p} = 3\vec{a}+(4+k)\vec{b}+(5-k)\vec{c} $$

となるので、

$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4+k}{12}\vec{b} + \frac{5-k}{12}\vec{c} $$

である。

ここで係数の和は

$$ \frac{1}{4}+\frac{4+k}{12}+\frac{5-k}{12} = \frac{3+4+k+5-k}{12} = 1 $$

である。したがって、これは点 $P$ の三角形 $ABC$ に関する重心座標を表している。

(1)

点 $P$ が辺 $AB$ 上にあるとき、$C$ の係数が $0$ であればよい。したがって、

$$ \frac{5-k}{12}=0 $$

より、

$$ k=5 $$

である。このとき

$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} $$

となり、確かに $P$ は辺 $AB$ 上にある。

(2)

点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあるためには、重心座標の各係数がすべて正であればよい。

すなわち、

$$ \frac{1}{4}>0,\qquad \frac{4+k}{12}>0,\qquad \frac{5-k}{12}>0 $$

が必要十分である。

第一の不等式は常に成り立つ。残りの不等式から、

$$ 4+k>0 $$

より、

$$ k>-4 $$

また、

$$ 5-k>0 $$

より、

$$ k<5 $$

である。

したがって、点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあるような $k$ の範囲は

$$ -4<k<5 $$

である。

解説

この問題では、与えられた式をそのまま図形的に処理するよりも、位置ベクトルで $P$ を表すのが自然である。

特に、

$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4+k}{12}\vec{b} + \frac{5-k}{12}\vec{c} $$

の係数の和が $1$ になるため、これは三角形 $ABC$ に対する重心座標として読める。辺上にある条件は対応する頂点の係数が $0$、内部にある条件はすべての係数が正であることを使う。

答え

(1)

$$ k=5 $$

(2)

$$ -4<k<5 $$