数学C 平面の位置ベクトル 問題 12 解説

方針・初手

外接円の中心 $D$ を原点として、位置ベクトルで処理する。すると、$A,B,C$ は同じ円周上にあるため

$$ |\vec{DA}|=|\vec{DB}|=|\vec{DC}| $$

が使える。また、$F$ は三角形 $ABC$ の2本の中線の交点なので重心である。

解法1

$D$ を原点とし、

$$ \vec{DA}=\vec{a},\quad \vec{DB}=\vec{b},\quad \vec{DC}=\vec{c} $$

とおく。$D$ は外接円の中心であるから、

$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}| $$

である。

点 $E$ は

$$ \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DE} $$

を満たすので、

$$ \overrightarrow{DE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} $$

である。

また、$F$ は2本の中線の交点であるから、三角形 $ABC$ の重心である。したがって

$$ \overrightarrow{DF}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

である。

(1)

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF} &=(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DA}) +(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}) +(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DC})\\ &=3\overrightarrow{DF}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\ &=3\cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\ &=\vec{0}. \end{aligned} $$

よって、

$$ \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\vec{0} $$

が成り立つ。

(2)

直線 $AE$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{AE} =\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA} =(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a} =\vec{b}+\vec{c} $$

である。

一方、直線 $BC$ の方向ベクトルは

$$ \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b} $$

である。

内積をとると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC} &=(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})\\ &=\vec{b}\cdot\vec{c}-|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-\vec{c}\cdot\vec{b}\\ &=|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\\ &=0. \end{aligned} $$

したがって、

$$ AE\perp BC $$

である。

(3)

先に求めた式より、

$$ \overrightarrow{DE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\quad \overrightarrow{DF}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

である。したがって

$$ \overrightarrow{DE}=3\overrightarrow{DF} $$

となる。

$E$ と $F$ が異なるとき、$\overrightarrow{DF}\neq \vec{0}$ であり、$D,F,E$ はこの順に一直線上に並ぶ。よって

$$ EF=DE-DF=3DF-DF=2DF $$

であるから、

$$ DF:EF=1:2 $$

となる。

(4)

$E=F$ とする。このとき

$$ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DF} $$

であるから、

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} =\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

となる。したがって

$$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} $$

である。

この式から

$$ \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c} $$

である。両辺の長さの2乗をとると、

$$ |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2 $$

である。$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ を $R$ とおくと、

$$ R^2+R^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}=R^2 $$

より、

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{R^2}{2} $$

である。同様に、

$$ \vec{a}\cdot\vec{c}=-\frac{R^2}{2} $$

も成り立つ。

したがって、

$$ \begin{aligned} AB^2 &=|\vec{b}-\vec{a}|^2\\ &=|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\\ &=R^2+R^2-2\left(-\frac{R^2}{2}\right)\\ &=3R^2, \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} AC^2 &=|\vec{c}-\vec{a}|^2\\ &=|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{c}\\ &=R^2+R^2-2\left(-\frac{R^2}{2}\right)\\ &=3R^2. \end{aligned} $$

よって

$$ AB=AC $$

であるから、

$$ AB:AC=1:1 $$

である。

解説

この問題では、外接円の中心 $D$ を原点に取るのが最も自然である。すると、$A,B,C$ の位置ベクトルの長さがすべて等しいことが使える。

点 $E$ は

$$ \overrightarrow{DE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} $$

で表され、点 $F$ は重心なので

$$ \overrightarrow{DF}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} $$

で表される。この2式から、$D,F,E$ の位置関係が一気に分かる。

また、垂直を示す部分では、方向ベクトル

$$ \overrightarrow{AE}=\vec{b}+\vec{c},\quad \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b} $$

の内積を計算するだけでよい。外接円の中心を原点にしたことで、$|\vec{b}|=|\vec{c}|$ が使え、内積が $0$ になる。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF}=\vec{0} $$

が成り立つ。

(2)

$$ AE\perp BC $$

である。

(3)

$$ DF:EF=1:2 $$

である。

(4)

$$ AB:AC=1:1 $$