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数学C 平面の位置ベクトル問題 11 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ をそれぞれ $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ とおく。

3点 $A,B,C$ は中心 $O$、半径 $2$ の円周上にあるので、

$$ |\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2 $$

である。また、条件より

$$ 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}-4\mathbf{c}=\mathbf{0} $$

だから、まず $\mathbf{c}$ を $\mathbf{a},\mathbf{b}$ で表し、$|\mathbf{c}|=2$ を用いて $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ を決める。

解法1

条件式を変形すると、

$$ 4\mathbf{c}=2\mathbf{a}+3\mathbf{b} $$

より、

$$ \mathbf{c}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b} $$

である。

(1)

$|\mathbf{c}|=2$ であるから、$|\mathbf{c}|^2=4$ である。したがって、

$$ \left|\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right|^2=4 $$

である。

これを展開すると、

$$ \frac{1}{4}|\mathbf{a}|^2+\frac{9}{16}|\mathbf{b}|^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=4 $$

である。$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=2$ を代入すると、

$$ \frac{1}{4}\cdot 4+\frac{9}{16}\cdot 4+\frac{3}{4}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=4 $$

すなわち、

$$ 1+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=4 $$

である。よって、

$$ \frac{3}{4}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\frac{3}{4} $$

となるから、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1 $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1 $$

である。

(2)

線分 $AB$ の長さは、

$$ AB=|\mathbf{b}-\mathbf{a}| $$

である。よって、

$$ AB^2=|\mathbf{b}-\mathbf{a}|^2 $$

を計算する。

$$ |\mathbf{b}-\mathbf{a}|^2 =|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{a}|^2-2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) $$

であるから、

$$ AB^2=4+4-2\cdot 1=6 $$

となる。

したがって、

$$ AB=\sqrt{6} $$

である。

(3)

$D$ は線分 $AB$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD}=(1-t)\mathbf{a}+t\mathbf{b} $$

と表せる。

また、$D$ は線分 $OC$ 上にもあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD}=s\mathbf{c} $$

と表せる。

ここで、

$$ \mathbf{c}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b} $$

だから、

$$ s\mathbf{c}=\frac{s}{2}\mathbf{a}+\frac{3s}{4}\mathbf{b} $$

である。

これが線分 $AB$ 上の点を表すには、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の係数の和が $1$ になればよい。したがって、

$$ \frac{s}{2}+\frac{3s}{4}=1 $$

より、

$$ \frac{5s}{4}=1 $$

なので、

$$ s=\frac{4}{5} $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{4}{5}\mathbf{c} =\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right) $$

より、

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{2}{5}\mathbf{a}+\frac{3}{5}\mathbf{b} $$

である。

すなわち、

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{5}\overrightarrow{OB} $$

である。

(4)

四角形 $OBCA$ の面積は、三角形 $OBC$ と三角形 $OCA$ の面積の和で求める。

まず、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ がつくる平行四辺形の面積を求める。これは

$$ \sqrt{|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2} $$

である。

$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=2$、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1$ より、

$$ \sqrt{4\cdot 4-1^2}=\sqrt{15} $$

である。

また、

$$ \mathbf{c}=\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b} $$

であるから、面積については $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の係数を用いて処理できる。

三角形 $OBC$ の面積は、

$$ \frac{1}{2}|\mathbf{b}\times \mathbf{c}| $$

である。ここで、

$$ \begin{aligned} \mathbf{b}\times\mathbf{c} &= \mathbf{b}\times\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)\\ &= \frac{1}{2}(\mathbf{b}\times\mathbf{a}) \end{aligned} $$

だから、

$$ |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=\frac{1}{2}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| =\frac{\sqrt{15}}{2} $$

である。よって、

$$ [OBC]=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{2} =\frac{\sqrt{15}}{4} $$

である。

次に、三角形 $OCA$ の面積は、

$$ \frac{1}{2}|\mathbf{c}\times\mathbf{a}| $$

である。ここで、

$$ \mathbf{c}\times\mathbf{a} = \left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)\times\mathbf{a} \frac{3}{4}(\mathbf{b}\times\mathbf{a}) $$

だから、

$$ |\mathbf{c}\times\mathbf{a}|=\frac{3}{4}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| =\frac{3\sqrt{15}}{4} $$

である。よって、

$$ [OCA]=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} =\frac{3\sqrt{15}}{8} $$

である。

したがって、四角形 $OBCA$ の面積は、

$$ [OBCA]=[OBC]+[OCA] =\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{3\sqrt{15}}{8} =\frac{5\sqrt{15}}{8} $$

である。

解説

この問題では、条件

$$ 2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} $$

から $\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ で表すのが初手である。

その後、$A,B,C$ が半径 $2$ の円周上にあることから、各ベクトルの長さがすべて $2$ である点を使う。特に $|\overrightarrow{OC}|=2$ を利用すると、内積 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$ が決まる。

(3) では、線分 $AB$ 上の点は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の係数の和が $1$ になる形で表せることを使う。これは内分点のベクトル表示の基本である。

(4) では、座標を具体的に置かなくても、外積に対応する面積計算で処理できる。$\overrightarrow{OC}$ が $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合で表されているため、三角形 $OBC$ と $OCA$ の面積をそれぞれ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ のつくる平行四辺形の面積に帰着できる。