数学C 空間のメネラウスの定理 問題 1 解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置ベクトルをまず求める。四面体 $OABC$ では $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、点 $S$ が平面 $\alpha$ 上にある条件は、$\overrightarrow{PS}$ が $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表せることとして処理できる。

解法1

$OP:PA=1:2$ より、$P$ は辺 $OA$ を $1:2$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\vec a $$

である。

また、$AQ:QB=1:2$ より、$Q$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分する。したがって、

$$ \overrightarrow{OQ} =\frac{2\vec a+\vec b}{3} $$

である。

さらに、$BR:RC=1:2$ より、$R$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{2\vec b+\vec c}{3} $$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =\frac{2\vec a+\vec b}{3}-\frac{\vec a}{3} =\frac{\vec a+\vec b}{3} $$

である。

同様に、

$$ \overrightarrow{PR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} =\frac{2\vec b+\vec c}{3}-\frac{\vec a}{3} =\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3} $$

である。

また、$\overrightarrow{OS}=s\vec c$ より、

$$ \overrightarrow{PS} =\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP} =s\vec c-\frac{\vec a}{3} $$

である。

次に、$P,Q,R,S$ は同じ平面 $\alpha$ 上にあるから、$\overrightarrow{PS}$ は $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表される。すなわち、実数 $x,y$ を用いて

$$ \overrightarrow{PS} =x\overrightarrow{PQ}+y\overrightarrow{PR} $$

とおける。

これに先ほど求めた式を代入すると、

$$ s\vec c-\frac{\vec a}{3} =x\frac{\vec a+\vec b}{3} +y\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3} $$

である。両辺を $3$ 倍して、

$$ -\vec a+3s\vec c =x(\vec a+\vec b)+y(-\vec a+2\vec b+\vec c) $$

となる。

右辺を整理すると、

$$ x(\vec a+\vec b)+y(-\vec a+2\vec b+\vec c) =(x-y)\vec a+(x+2y)\vec b+y\vec c $$

である。

$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$$ \begin{cases} x-y=-1,\\ x+2y=0,\\ y=3s \end{cases} $$

を得る。

第2式より $x=-2y$ である。これを第1式に代入すると、

$$ -2y-y=-1 $$

より、

$$ y=\frac{1}{3} $$

である。したがって第3式より、

$$ 3s=\frac{1}{3} $$

なので、

$$ s=\frac{1}{9} $$

である。

解説

この問題では、平面上にあることを「ベクトルの一次結合」で表すのが基本である。$P,Q,R$ は比からすぐに位置ベクトルが出るので、まず $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ を求める。

その後、$S$ が同じ平面上にあることから、$\overrightarrow{PS}$ を $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表す。四面体の頂点 $O,A,B,C$ が同一平面上にないため、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であり、係数比較ができる点が重要である。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{PQ}=\frac{\vec a+\vec b}{3} $$

$$ \overrightarrow{PR}=\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3} $$

$$ \overrightarrow{PS}=-\frac{1}{3}\vec a+s\vec c $$

(2)

$$ s=\frac{1}{9} $$