東北大学 2025年 理系 第5問 解説

方針・初手

点 $N(0,0,1)$ から $xy$ 平面への射影になっていることに着目する。

まず、点 $P(a,b,c)$ から点 $Q$ を求める式を出す。次に逆向きに、$xy$ 平面上の点 $(p,q,0)$ から球面上の点 $P$ を復元する式を求める。最後に、その復元式を平面 $\alpha$ の方程式に代入して、点 $Q$ の軌跡を調べる。

解法1

(1)

直線 $l$ は $N(0,0,1)$ と $P(a,b,c)$ を通るから、媒介変数 $t$ を用いて

$$ (x,y,z)=(0,0,1)+t(a,b,c-1) $$

と表せる。

点 $Q$ はこの直線と $xy$ 平面との交点であるから、$z=0$ を満たす。したがって

$$ 1+t(c-1)=0 $$

より

$$ t=\frac{1}{1-c} $$

である。ただし $P\neq N$ より $c\neq 1$ である。

よって

$$ Q\left(\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c},0\right) $$

となる。

(2)

$xy$ 平面上の点 $(p,q,0)$ と $N(0,0,1)$ を通る直線 $m$ は、媒介変数 $s$ を用いて

$$ (x,y,z)=(0,0,1)+s(p,q,-1)=(sp,sq,1-s) $$

と表せる。

この点が球面 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 上にある条件は

$$ (sp)^2+(sq)^2+(1-s)^2=1 $$

すなわち

$$ s^2(p^2+q^2)+(1-s)^2=1 $$

である。整理すると

$$ s{(p^2+q^2+1)s-2}=0 $$

となる。

$s=0$ のときは点 $N$ であるから、点 $N$ 以外の交点に対応するのは

$$ s=\frac{2}{p^2+q^2+1} $$

である。

したがって、その交点の座標は

$$ \left( \frac{2p}{p^2+q^2+1}, \frac{2q}{p^2+q^2+1}, 1-\frac{2}{p^2+q^2+1} \right) $$

すなわち

$$ \left( \frac{2p}{p^2+q^2+1}, \frac{2q}{p^2+q^2+1}, \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1} \right) $$

である。

(3)

平面 $\alpha$ は点 $\left(0,0,\frac12\right)$ を通り、法線ベクトルが $(3,4,5)$ であるから、その方程式は

$$ 3x+4y+5\left(z-\frac12\right)=0 $$

すなわち

$$ 3x+4y+5z=\frac52 $$

である。

いま、点 $Q$ の座標を

$$ Q=(p,q,0) $$

とおく。すると （2） より、これに対応する球面上の点 $P$ は

$$ P= \left( \frac{2p}{p^2+q^2+1}, \frac{2q}{p^2+q^2+1}, \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1} \right) $$

である。

この $P$ が平面 $\alpha$ 上にあるので、

$$ 3\cdot \frac{2p}{p^2+q^2+1} +4\cdot \frac{2q}{p^2+q^2+1} +5\cdot \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1} =\frac52 $$

が成り立つ。

両辺に $2(p^2+q^2+1)$ を掛けると

$$ 12p+16q+10(p^2+q^2-1)=5(p^2+q^2+1) $$

となる。整理して

$$ 5p^2+12p+5q^2+16q-15=0 $$

を得る。

これを平方完成すると

$$ 5\left(p+\frac65\right)^2+5\left(q+\frac85\right)^2=35 $$

すなわち

$$ \left(p+\frac65\right)^2+\left(q+\frac85\right)^2=7 $$

である。

これは $xy$ 平面上の円

$$ \left(x+\frac65\right)^2+\left(y+\frac85\right)^2=7,\qquad z=0 $$

を表す。

よって、点 $P$ が平面 $\alpha$ と球面 $S$ の交わりを動くとき、点 $Q$ は $xy$ 平面上の円周上を動くことが示された。

解説

この問題の本質は、点 $N(0,0,1)$ からの射影である。（1） は球面上の点から平面上の点への対応、（2） はその逆対応を与えている。

したがって （3） では、球面上の円 $\alpha\cap S$ を直接追うのではなく、いったん $xy$ 平面上の点 $(p,q,0)$ で表してから平面の条件を代入すればよい。すると $p,q$ について2次式が得られ、軌跡が円であることが分かる。

答え

$$ \text{(1)}\quad Q\left(\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c},0\right) $$

$$ \text{(2)}\quad \left( \frac{2p}{p^2+q^2+1}, \frac{2q}{p^2+q^2+1}, \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1} \right) $$

$$ \text{(3)}\quad Q \text{ の軌跡は } \left(x+\frac65\right)^2+\left(y+\frac85\right)^2=7,\ z=0 $$

すなわち、中心 $\left(-\frac65,-\frac85,0\right)$、半径 $\sqrt7$ の円周である。