京都大学 2024年 文系 第1問 解説

方針・初手

• 求める四面体の体積は、$\triangle \text{OAB}$ を底面として考えると、$\angle \text{AOB} = 90^\circ$ より底面積がすぐに求まります。
• したがって、頂点 $\text{C}$ から平面 $\text{OAB}$ に下ろした垂線の長さ（高さ）を求めることが目標となります。
• 条件 $\angle \text{COA} = \angle \text{COB} = \angle \text{ACB}$ を活用するため、この角を $\theta$ とおき、各辺の長さを $\theta$ を用いて表します。$\angle \text{AOB} = 90^\circ$ に着目し、座標空間に配置して考えるのが見通しのよい解法です。

解法1

$\angle \text{COA} = \angle \text{COB} = \angle \text{ACB} = \theta \ (0^\circ < \theta < 180^\circ)$ とおく。

$\triangle \text{OAB}$ において、$OA = OB = 1, \angle \text{AOB} = 90^\circ$ であるから、三平方の定理より

$$ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

また、$\triangle \text{OCA}$ と $\triangle \text{OCB}$ において、$OA=OB=1, OC=1$（共通）、$\angle \text{COA} = \angle \text{COB} = \theta$ であるから $\triangle \text{OCA} \equiv \triangle \text{OCB}$ となる。よって $CA = CB$ であり、$\triangle \text{ABC}$ は二等辺三角形である。

$\triangle \text{OCA}$ において余弦定理より

$$ CA^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cos\theta = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = 2 - 2\cos\theta $$

$\triangle \text{ABC}$ においても余弦定理を用いると

$$ AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cos \angle \text{ACB} $$

$CA = CB, \angle \text{ACB} = \theta$ であるから

$$ (\sqrt{2})^2 = CA^2 + CA^2 - 2 \cdot CA^2 \cos\theta = 2CA^2 (1 - \cos\theta) $$

$CA^2 = 2 - 2\cos\theta$ を代入すると

$$ 2 = 2(2 - 2\cos\theta)(1 - \cos\theta) $$

$$ 1 = 2(1 - \cos\theta)^2 $$

$$ (1 - \cos\theta)^2 = \frac{1}{2} $$

$$ 1 - \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \cos\theta = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $-1 < \cos\theta < 1$ であるから、$\cos\theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ は条件を満たさない。よって、

$$ \cos\theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

次に、四面体 $OABC$ の体積を求めるために、座標空間を導入する。

点 $\text{O}$ を原点 $(0,0,0)$ とし、$\angle \text{AOB} = 90^\circ$ を満たすように $\text{A}(1,0,0), \text{B}(0,1,0)$ ととる。点 $\text{C}$ の座標を $(x, y, z)$ とする。

$OC = 1$ より

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad \cdots ① $$

$\overrightarrow{\text{OA}} = (1, 0, 0), \overrightarrow{\text{OC}} = (x, y, z)$ のなす角が $\theta$ であるから、

$$ \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = x = |\overrightarrow{\text{OA}}||\overrightarrow{\text{OC}}|\cos\theta = \cos\theta $$

したがって $x = \cos\theta$。同様に $y = \cos\theta$。

これを①に代入すると、

$$ \cos^2\theta + \cos^2\theta + z^2 = 1 \iff z^2 = 1 - 2\cos^2\theta $$

$\cos\theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して $z^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} z^2 &= 1 - 2\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\ &= 1 - 2\left(1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \\ &= 1 - 2 + 2\sqrt{2} - 1 \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned}$$

点 $\text{C}$ から平面 $\text{OAB}$（$xy$ 平面）に下ろした垂線の長さ $h$ は $|z|$ に等しいので、

$$ h = |z| = \sqrt{2\sqrt{2} - 2} $$

底面 $\triangle \text{OAB}$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} $$

したがって、求める四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$$ V = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2\sqrt{2} - 2} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{6} $$

解説

空間図形の計量問題では、ベクトルや座標系を導入すると見通しが良くなることが多くあります。本問では $\angle \text{AOB} = 90^\circ$ という条件があるため、点 $\text{O}$ を原点、点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸上にとる座標設定が非常に有効に機能します。

また、角度の条件から等しい辺を見出し（$\triangle \text{OCA} \equiv \triangle \text{OCB}$ から $CA=CB$）、平面図形（$\triangle \text{ABC}$）を取り出して余弦定理を用いて $\cos\theta$ の値を決定するプロセスも頻出の処理です。$\cos\theta$ の値を求める際に、$-1 < \cos\theta < 1$ という範囲の確認を忘れないように注意が必要です。

答え

$$ \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{6} $$