東北大学 2025年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $D$ は

$$ \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} $$

を満たすので、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を $\vec a,\vec b,\vec c$ で表して $\overrightarrow{OD}$ を求める。

また、$D$ は平面 $ABC$ 上にあるから、四角錐 $OABDC$ の体積は、底面 $ABDC$ の面積と四面体 $OABC$ の底面 $ABC$ の面積の比で求められる。

解法1

（1） 四角錐 $OABDC$ の体積

平面 $ABC$ 内で、$A$ を原点とみなし、

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{u},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{v} $$

とおく。

このとき

$$ \overrightarrow{AD}=3\mathbf{u}+2\mathbf{v} $$

であるから、点の位置関係は

$$ A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1),\quad D=(3,2) $$

とみなせる。

したがって、四角形 $ABDC$ の面積は

$$ [ABDC]=[ABD]+[ACD] $$

であり、

$$ [ABD]=\frac12\left| \det \begin{pmatrix} 1 & 0\ 3 & 2 \end{pmatrix} \right|=1, \qquad [ACD]=\frac12\left| \det \begin{pmatrix} 0 & 1\ 3 & 2 \end{pmatrix} \right|=\frac32 $$

より、

$$ [ABDC]=1+\frac32=\frac52 $$

である。

一方、

$$ [ABC]=\frac12 $$

だから、

$$ \frac{[ABDC]}{[ABC]}=5 $$

となる。頂点 $O$ から平面 $ABC$ までの高さは共通なので、体積比も同じである。

よって、四角錐 $OABDC$ の体積は

$$ 5V $$

である。

(2)

$\overrightarrow{OD}$ を $\vec a,\vec b,\vec c$ で表す

まず

$$ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a $$

より、

$$ \overrightarrow{AD} =3(\vec b-\vec a)+2(\vec c-\vec a) =3\vec b+2\vec c-5\vec a $$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OD} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD} =\vec a+(3\vec b+2\vec c-5\vec a) =-4\vec a+3\vec b+2\vec c $$

となる。

（3） 線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点 $P$ について

$P$ は線分 $AD$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OA}+t,\overrightarrow{AD} =\vec a+t(3\vec b+2\vec c-5\vec a) =(1-5t)\vec a+3t\vec b+2t\vec c $$

と表せる。

また、$P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$\overrightarrow{OP}$ は $\vec b,\vec c$ の一次結合で表され、$\vec a$ の係数は $0$ でなければならない。したがって

$$ 1-5t=0 $$

より

$$ t=\frac15 $$

である。

これを代入して

$$ \overrightarrow{OP} =\frac35\vec b+\frac25\vec c $$

を得る。

（4） 四面体 $OABC$ が1辺の長さ $1$ の正四面体のときの $OD$

正四面体より

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1 $$

であり、また三角形 $OAB,OBC,OCA$ はいずれも正三角形だから

$$ \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12 $$

である。

（2） より

$$ \overrightarrow{OD}=-4\vec a+3\vec b+2\vec c $$

だから、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OD}|^2 &=(-4\vec a+3\vec b+2\vec c)\cdot(-4\vec a+3\vec b+2\vec c)\\ &=16|\vec a|^2+9|\vec b|^2+4|\vec c|^2-24(\vec a\cdot\vec b)-16(\vec a\cdot\vec c)+12(\vec b\cdot\vec c)\\ &=16+9+4-24\cdot\frac12-16\cdot\frac12+12\cdot\frac12\\ &=29-12-8+6\\ &=15 \end{aligned} $$

よって、

$$ OD=\sqrt{15} $$

である。

解説

この問題の中心は、点 $D$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の一次結合で与えていることにある。

（1） では、$D$ が平面 $ABC$ 上にあることから、体積比を底面積比に帰着するのが基本である。

（3） では、交点を「$AD$ 上の点」と「$BC$ 上の点」の両方で表し、係数比較で求めるのが典型処理である。

（4） では、正四面体における

$$ \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12 $$

を使えるかどうかが重要である。

答え

$$ \begin{aligned} \text{（1）};&5V\\ \text{（2）};&\overrightarrow{OD}=-4\vec a+3\vec b+2\vec c\\ \text{（3）};&\overrightarrow{OP}=\frac35\vec b+\frac25\vec c\\ \text{（4）};&OD=\sqrt{15} \end{aligned} $$