京都大学 2025年 文系 第5問 解説

方針・初手

平面 $LMN$ 上にある点 $P$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ は、実数 $\alpha, \beta, \gamma$ を用いて $\overrightarrow{OP} = \alpha \overrightarrow{OL} + \beta \overrightarrow{OM} + \gamma \overrightarrow{ON}$ （$\alpha + \beta + \gamma = 1$）と表せます。 与えられた $s, t, u$ の関係式の右辺を $1$ に変形し、$\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ の係数の和が $1$ になるような形を作り出すことで、常に平面上に存在する定点をあぶり出します。

解法1

与えられた条件式

$$ \frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4 $$

の両辺を $4$ で割ると、

$$ \frac{1}{4s} + \frac{2}{4t} + \frac{3}{4u} = 1 \quad \cdots ① $$

となる。

一方、$\overrightarrow{OL} = s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{ON} = u\overrightarrow{OC}$ であり、$s, t, u$ は $0$ でない実数であるから、

$$ \overrightarrow{OA} = \frac{1}{s}\overrightarrow{OL}, \quad \overrightarrow{OB} = \frac{1}{t}\overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{OC} = \frac{1}{u}\overrightarrow{ON} $$

と表すことができる。

ここで、空間内の点 $P$ を次のように定める。

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

この式に上記の $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{s}\overrightarrow{OL} \right) + \frac{2}{4} \left( \frac{1}{t}\overrightarrow{OM} \right) + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{u}\overrightarrow{ON} \right) \\ &= \frac{1}{4s}\overrightarrow{OL} + \frac{2}{4t}\overrightarrow{OM} + \frac{3}{4u}\overrightarrow{ON} \end{aligned} $$

となる。

①より、$\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ の係数の和について

$$ \frac{1}{4s} + \frac{2}{4t} + \frac{3}{4u} = 1 $$

が常に成り立つ。 したがって、点 $P$ は $s, t, u$ が条件を満たして変化しても、常に3点 $L, M, N$ の定める平面 $LMN$ 上に存在する。

また、点 $P$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} $$

であり、これは $O, A, B, C$ の位置のみから一意に定まるため、$s, t, u$ の値に無関係な一定の点である。

以上より、平面 $LMN$ は、$s, t, u$ の値に無関係な一定の点 $P$ を通ることが示された。

解説

空間ベクトルの共面条件（点が平面上にある条件）である「$\overrightarrow{OP} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}$ かつ $\alpha + \beta + \gamma = 1$」を逆手に取って証明する典型問題です。 与えられた方程式 $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ の右辺を無理やり $1$ に調整することで、和が $1$ になる係数を作り出します。その係数をそのまま $\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ の前に配置し、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ の式に書き直したときに出現する点が、探すべき定点となります。

答え

略（解法1の証明を参照） ※ 通過する定点 $P$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$ である。