数学C 空間ベクトル 問題 11 解説

方針・初手

4つのベクトルのどの2つのなす角も等しいので、その余弦を $t$ とおく。

また、$x\vec a+y\vec b+z\vec c+\vec d=\vec0$ が成り立つので、$\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ は一次従属である。この条件から共通の角の余弦 $t$ を決める。

解法1

どの2つのベクトルのなす角も等しいので、その余弦を $t$ とおく。すると、内積は次のように表される。

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|t=2t $$

同様に、

$$ \vec a\cdot\vec c=3t,\quad \vec a\cdot\vec d=4t,\quad \vec b\cdot\vec c=6t,\quad \vec b\cdot\vec d=8t,\quad \vec c\cdot\vec d=12t $$

ここで、単位ベクトル

$$ \vec e_1=\vec a,\quad \vec e_2=\frac{\vec b}{2},\quad \vec e_3=\frac{\vec c}{3},\quad \vec e_4=\frac{\vec d}{4} $$

を考える。これらはいずれも大きさ $1$ で、どの2つの内積も $t$ である。

したがって、$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec e_4$ のグラム行列は

$$ G= \begin{pmatrix} 1&t&t&t\\ t&1&t&t\\ t&t&1&t\\ t&t&t&1 \end{pmatrix} $$

である。

一方、

$$ x\vec a+y\vec b+z\vec c+\vec d=\vec0 $$

が成り立つから、$\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ は一次従属である。したがって、$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec e_4$ も一次従属である。

よって、グラム行列 $G$ の行列式は $0$ でなければならない。

この行列は対角成分が $1$、非対角成分が $t$ であるから、固有値は

$$ 1+3t,\quad 1-t,\quad 1-t,\quad 1-t $$

である。したがって、

$$ \det G=(1+3t)(1-t)^3 $$

となる。

どの2つのベクトルも平行でないので、共通角は $0^\circ$ ではなく、$t\ne1$ である。よって、

$$ 1+3t=0 $$

より、

$$ t=-\frac13 $$

である。

したがって、

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|t=1\cdot2\cdot\left(-\frac13\right)=-\frac23 $$

である。

次に $x,y,z$ を求める。$t=-\frac13$ のとき、上のグラム行列は

$$ G \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3t\\ 1+3t\\ 1+3t\\ 1+3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} $$

を満たす。つまり、

$$ \vec e_1+\vec e_2+\vec e_3+\vec e_4=\vec0 $$

である。

これをもとのベクトルで書くと、

$$ \vec a+\frac{\vec b}{2}+\frac{\vec c}{3}+\frac{\vec d}{4}=\vec0 $$

である。両辺を $4$ 倍して、

$$ 4\vec a+2\vec b+\frac43\vec c+\vec d=\vec0 $$

となる。

与えられた式

$$ x\vec a+y\vec b+z\vec c+\vec d=\vec0 $$

と比較して、

$$ x=4,\quad y=2,\quad z=\frac43 $$

である。

解説

ポイントは、4つのベクトルそのものではなく、それぞれを大きさ $1$ にそろえた単位ベクトルを見ることである。

どの2つのなす角も等しいという条件は、単位ベクトルの相互の内積がすべて同じ値 $t$ であることを意味する。さらに、与えられた一次関係により4つのベクトルは一次従属であるため、グラム行列の行列式が $0$ になる。

この条件から $t=-\frac13$ が決まり、あとは一次従属の関係式

$$ \vec e_1+\vec e_2+\vec e_3+\vec e_4=\vec0 $$

をもとのベクトルに戻せばよい。

答え

$$ \vec a\cdot\vec b=-\frac23 $$

$$ x=4,\quad y=2,\quad z=\frac43 $$