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数学C 空間ベクトル問題 61 解説

方針・初手

三角形 $OPQ$ の面積は、外積 $\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}$ の大きさの半分で求める。

また、四面体 $OPQR$ の体積は、底面を $\triangle OPQ$ と見て、

$$ \frac{1}{3}\times \triangle OPQ\text{ の面積}\times R\text{ から平面 }OPQ\text{ までの距離} $$

で求める。平面 $OPQ$ に垂直な単位ベクトルを使えば、高さは内積で計算できる。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{OP}=(2,1,2),\quad \overrightarrow{OQ}=(2,3,6) $$

より、外積を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix}\\ &=(1\cdot 6-2\cdot 3,; 2\cdot 2-2\cdot 6,; 2\cdot 3-1\cdot 2)\\ &=(0,-8,4) \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}\right| &= \sqrt{0^2+(-8)^2+4^2}\\ &= \sqrt{80}\\ &= 4\sqrt{5} \end{aligned} $$

である。

三角形 $OPQ$ の面積はこの半分だから、

$$ \triangle OPQ=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}=2\sqrt{5} $$

である。

次に、$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ に直交する単位ベクトルを求める。外積 $(0,-8,4)$ と反対向きの単位ベクトルを取ると、

$$ \frac{-(0,-8,4)}{4\sqrt{5}} = \left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

となる。

よって、

$$ \left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

は $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ に直交する長さ $1$ のベクトルである。

この単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とおくと、$R$ から平面 $OPQ$ までの距離は

$$ \left|\overrightarrow{OR}\cdot \mathbf{n}\right| $$

で求められる。

ここで

$$ \overrightarrow{OR}=(3,6,2) $$

だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR}\cdot \mathbf{n} &=(3,6,2)\cdot \left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\\ &=3\cdot 0+6\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\\ &=\frac{12}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}\\ &=\frac{10}{\sqrt{5}}\\ &=2\sqrt{5} \end{aligned} $$

したがって、高さは $2\sqrt{5}$ である。

ゆえに、四面体 $OPQR$ の体積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5} &=\frac{1}{3}\cdot 20\\ &=\frac{20}{3} \end{aligned} $$

である。

解法2

四面体の体積は、3つのベクトル $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ のスカラー三重積を用いて

$$ \frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{OR}\right| $$

で求められる。

すでに

$$ \overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}=(0,-8,4) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ})\cdot\overrightarrow{OR} &=(0,-8,4)\cdot(3,6,2)\\ &=0\cdot 3+(-8)\cdot 6+4\cdot 2\\ &=-48+8\\ &=-40 \end{aligned} $$

したがって、四面体 $OPQR$ の体積は

$$ \frac{1}{6}|-40|=\frac{20}{3} $$

である。

解説

この問題では、外積の幾何的意味を使うのが基本である。

$\left|\overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ}\right|$ は、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ を2辺とする平行四辺形の面積を表す。そのため、三角形 $OPQ$ の面積はその半分になる。

また、外積は $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の両方に直交するので、平面 $OPQ$ の法線ベクトルとして使える。単位法線ベクトルを作れば、点 $R$ から平面 $OPQ$ までの距離は内積で求められる。

体積だけを求めるなら、解法2のスカラー三重積が最も速い。ただし、問題文が単位法線ベクトルの成分を問う形なので、解法1の流れを理解しておく必要がある。