数学C 空間ベクトル 問題 63 解説

方針・初手

$\overrightarrow{OP}$ を未知ベクトルとして、与えられた式を平方完成する。すると点 $P$ の軌跡は中心と半径をもつ円として表せる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OP}=\mathbf{x}$ とおく。

与えられた条件は

$$ 2|\mathbf{x}|^2-\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{x}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 $$

である。両辺を $2$ で割ると

$$ |\mathbf{x}|^2+\left(-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)\cdot\mathbf{x}-\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 $$

となる。

ここで

$$ \mathbf{c}=\frac{1}{4}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b} =\frac{1}{4}(\mathbf{a}-2\mathbf{b}) $$

とおく。このとき

$$ -2\mathbf{c}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\mathbf{b} $$

であるから、与式は

$$ |\mathbf{x}|^2-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{x}-\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 $$

と書ける。平方完成すると

$$ |\mathbf{x}-\mathbf{c}|^2=|\mathbf{c}|^2+\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} $$

である。右辺を計算すると

$$ \begin{aligned} |\mathbf{c}|^2+\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} &=\left|\frac{1}{4}(\mathbf{a}-2\mathbf{b})\right|^2+\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \\ &=\frac{1}{16}\left(|\mathbf{a}|^2-4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4|\mathbf{b}|^2\right) +\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \\ &=\frac{1}{16}\left(|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4|\mathbf{b}|^2\right) \\ &=\frac{1}{16}|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|^2. \end{aligned} $$

したがって

$$ \left|\mathbf{x}-\frac{1}{4}(\mathbf{a}-2\mathbf{b})\right| = \frac{1}{4}|\mathbf{a}+2\mathbf{b}| $$

である。

$O,A,B$ は同一直線上にないので、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は平行ではない。よって $\mathbf{a}+2\mathbf{b}\neq \mathbf{0}$ であり、半径は正である。したがって、点 $P$ の軌跡は円である。

この円の中心を $C$ とすると、

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{1}{4}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b} $$

であるから、

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} -\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} $$

である。

次に、円周上で $O$ からの距離が最小となる点 $P_0$ を考える。

円の中心ベクトルを

$$ \mathbf{c}=\overrightarrow{OC} =\frac{1}{4}(\mathbf{a}-2\mathbf{b}) $$

とする。また、半径を $r$ とすると

$$ r=\frac{1}{4}|\mathbf{a}+2\mathbf{b}| $$

である。

条件

$$ |\mathbf{a}|^2+6\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4|\mathbf{b}|^2=0 $$

より、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -\frac{|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf{b}|^2}{6} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} |\mathbf{a}+2\mathbf{b}|^2 &=|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4|\mathbf{b}|^2 \\ &=|\mathbf{a}|^2-\frac{2}{3}\left(|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf{b}|^2\right)+4|\mathbf{b}|^2 \\ &=\frac{1}{3}|\mathbf{a}|^2+\frac{4}{3}|\mathbf{b}|^2 \\ &=\frac{1}{3}\left(|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf{b}|^2\right). \end{aligned} $$

一方、

$$ \begin{aligned} |\mathbf{a}-2\mathbf{b}|^2 &=|\mathbf{a}|^2-4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4|\mathbf{b}|^2 \\ &=|\mathbf{a}|^2+\frac{2}{3}\left(|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf{b}|^2\right)+4|\mathbf{b}|^2 \\ &=\frac{5}{3}|\mathbf{a}|^2+\frac{20}{3}|\mathbf{b}|^2 \\ &=\frac{5}{3}\left(|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf{b}|^2\right). \end{aligned} $$

よって

$$ \frac{|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|^2}{|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|^2} = \frac{1}{5} $$

であるから、

$$ \frac{|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

である。

また

$$ |\mathbf{c}|=\frac{1}{4}|\mathbf{a}-2\mathbf{b}| $$

なので、

$$ \begin{aligned} \frac{r}{|\mathbf{c}|} &= \frac{|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|}\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{aligned} $$

となる。

さらに

$$ |\mathbf{c}|^2-r^2 = \frac{1}{16}\left(|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|^2-|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|^2\right) -\frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} $$

であり、条件から $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}<0$ だから、$|\mathbf{c}|>r$ である。つまり $O$ は円の外部にある。

したがって、$O$ から円周までの距離が最小となる点 $P_0$ は、直線 $OC$ 上で $O$ に最も近い円周上の点であり、

$$ \overrightarrow{OP_0} = \left(1-\frac{r}{|\mathbf{c}|}\right)\mathbf{c} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP_0} &= \left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\frac{1}{4}(\mathbf{a}-2\mathbf{b}) \\ &= \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\mathbf{a} -\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\mathbf{b}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \overrightarrow{OP_0}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} $$

と書くと、

$$ s=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right), \qquad t=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$

である。

整理すると

$$ s=\frac{5-\sqrt{5}}{20}, \qquad t=\frac{\sqrt{5}-5}{10} $$

である。

解説

この問題の中心は、ベクトルの内積で表された二次式を円の方程式に直すことである。

$\overrightarrow{OP}$ を $\mathbf{x}$ とおくと、与式は $\mathbf{x}$ に関する二次式であり、$|\mathbf{x}|^2$ の係数が正であるため、平方完成によって

$$ |\mathbf{x}-\mathbf{c}|^2=r^2 $$

の形にできる。

(3)では、円の中心 $C$ と半径 $r$ を使い、$O$ から円周までの最短距離を考える。$O$ が円の外部にあることを確認したうえで、最短点 $P_0$ が直線 $OC$ 上にあると判断するのが要点である。

答え

(1)

点 $P$ の軌跡は

$$ \left|\overrightarrow{OP} -\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}\right)\right| = \frac{1}{4}\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right| $$

で表される円である。

(2)

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} -\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} $$

(3)

$$ s=\frac{5-\sqrt{5}}{20}, \qquad t=\frac{\sqrt{5}-5}{10} $$