数学C 空間ベクトル 問題 94 解説

方針・初手

平行六面体では、$\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b,\ \overrightarrow{OC}=\vec c$ とおくと、各頂点の位置ベクトルを $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次結合で表せる。

特に

$$ \overrightarrow{OD}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{OF}=\vec b+\vec c,\quad \overrightarrow{OG}=\vec a+\vec b+\vec c $$

である。したがって、各点 $M,N,L,K$ の位置ベクトルを求め、平面条件は一次独立性または一次結合で処理する。

解法1

点 $M$ は辺 $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec a $$

である。

点 $N$ は辺 $AD$ を $2:3$ に内分する点である。$D$ の位置ベクトルは $\vec a+\vec b$ なので、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ON} &= \frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}}{5}\\ &= \frac{3\vec a+2(\vec a+\vec b)}{5}\\ &= \vec a+\frac{2}{5}\vec b \end{aligned} $$

である。

点 $L$ は辺 $DG$ を $1:2$ に内分する点である。$D=\vec a+\vec b,\ G=\vec a+\vec b+\vec c$ だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OL} &= \frac{2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OG}}{3}\\ &= \frac{2(\vec a+\vec b)+(\vec a+\vec b+\vec c)}{3}\\ &= \vec a+\vec b+\frac{1}{3}\vec c \end{aligned} $$

である。

また、点 $K$ は辺 $OC$ を $k:(1-k)$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OK}=k\vec c $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\\ &= \frac{1}{2}\vec a+\frac{2}{5}\vec b \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ML} &= \overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OM}\\ &= \frac{1}{2}\vec a+\vec b+\frac{1}{3}\vec c \end{aligned} $$

$$ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM} -\frac{1}{2}\vec a+k\vec c $$

となる。

次に、$L$ が $M,N,K$ の定める平面上にある条件を考える。

$L$ がこの平面上にあることは、ある実数 $s,t$ が存在して

$$ \overrightarrow{ML}=s\overrightarrow{MN}+t\overrightarrow{MK} $$

と表せることと同値である。

ここに先ほど求めたベクトルを代入すると、

$$ \frac{1}{2}\vec a+\vec b+\frac{1}{3}\vec c = s\left(\frac{1}{2}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\right) + t\left(-\frac{1}{2}\vec a+k\vec c\right) $$

である。$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を比較すると、

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}=\frac{s}{2}-\frac{t}{2} \\ 1=\frac{2}{5}s \\ \frac{1}{3}=kt \end{cases} $$

を得る。

第2式より

$$ s=\frac{5}{2} $$

である。これを第1式に代入すると、

$$ \frac{1}{2}=\frac{5}{4}-\frac{t}{2} $$

より、

$$ t=\frac{3}{2} $$

である。

したがって第3式より、

$$ \frac{1}{3}=k\cdot \frac{3}{2} $$

となるから、

$$ k=\frac{2}{9} $$

である。

最後に、平面 $MNK$ が辺 $GF$ と交点をもつ条件を求める。

辺 $GF$ 上の点を $P$ とする。$F=\vec b+\vec c,\ G=\vec a+\vec b+\vec c$ であるから、$P$ はある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP}=u\vec a+\vec b+\vec c \quad (0\leqq u\leqq 1) $$

と表せる。

$P$ が平面 $MNK$ 上にあるためには、ある実数 $s,t$ が存在して

$$ \overrightarrow{MP}=s\overrightarrow{MN}+t\overrightarrow{MK} $$

となればよい。

ここで

$$ \overrightarrow{MP} = \left(u-\frac{1}{2}\right)\vec a+\vec b+\vec c $$

であるから、

$$ \left(u-\frac{1}{2}\right)\vec a+\vec b+\vec c = s\left(\frac{1}{2}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\right) + t\left(-\frac{1}{2}\vec a+k\vec c\right) $$

となる。

係数を比較すると、

$$ \begin{cases} u-\frac{1}{2}=\frac{s}{2}-\frac{t}{2} \\ 1=\frac{2}{5}s \\ 1=kt \end{cases} $$

である。第2式、第3式より

$$ s=\frac{5}{2},\quad t=\frac{1}{k} $$

である。これを第1式へ代入すると、

$$ u-\frac{1}{2} = \frac{5}{4}-\frac{1}{2k} $$

より、

$$ u=\frac{7}{4}-\frac{1}{2k} $$

となる。

辺 $GF$ と交点をもつための条件は $0\leqq u\leqq 1$ であるから、

$$ 0\leqq \frac{7}{4}-\frac{1}{2k}\leqq 1 $$

を解けばよい。ただし $0<k<1$ である。

左側の不等式から、

$$ 0\leqq \frac{7}{4}-\frac{1}{2k} $$

$$ \frac{1}{2k}\leqq \frac{7}{4} $$

$$ k\geqq \frac{2}{7} $$

を得る。

右側の不等式から、

$$ \frac{7}{4}-\frac{1}{2k}\leqq 1 $$

$$ \frac{3}{4}\leqq \frac{1}{2k} $$

$$ k\leqq \frac{2}{3} $$

を得る。

したがって、求める範囲は

$$ \frac{2}{7}\leqq k\leqq \frac{2}{3} $$

である。

解説

この問題では、平行六面体の頂点を $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次結合で表すことが最初の要点である。

平面 $MNK$ に点があるかどうかは、基準点を $M$ にそろえて、$\overrightarrow{MN}$ と $\overrightarrow{MK}$ の一次結合で表せるかを調べればよい。つまり、点 $X$ が平面 $MNK$ 上にある条件は

$$ \overrightarrow{MX}=s\overrightarrow{MN}+t\overrightarrow{MK} $$

と書けることである。

また、辺 $GF$ と交点をもつ条件では、辺上の点を

$$ u\vec a+\vec b+\vec c \quad (0\leqq u\leqq 1) $$

と置くことが重要である。平面上にある条件から $u$ を $k$ で表し、それが $0$ 以上 $1$ 以下になるように不等式を解けばよい。

答え

(1)

$$ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\vec a+\frac{2}{5}\vec b $$

$$ \overrightarrow{ML} = \frac{1}{2}\vec a+\vec b+\frac{1}{3}\vec c $$

$$ \overrightarrow{MK} = -\frac{1}{2}\vec a+k\vec c $$

(2)

$$ k=\frac{2}{9} $$

(3)

$$ \frac{2}{7}\leqq k\leqq \frac{2}{3} $$