数学C 空間ベクトル問題 105 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ の方程式を求め、原点からその平面への垂線を法線ベクトルで表す。また、条件 $a+b+c=0$ は、点 $P$ が平面 $\alpha$ に平行な原点を通る平面上を動くことを意味するので、最後は単位ベクトルとの内積の最大化として処理する。

解法1

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=(1,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,1,1) $$

である。よって平面 $\alpha$ の法線ベクトルとして

$$ \overrightarrow{n}=(1,1,-1) $$

をとることができる。

平面 $\alpha$ は点 $A(2,2,-1)$ を通るから、

$$ (x-2)+(y-2)-(z+1)=0 $$

すなわち

$$ x+y-z=5 $$

である。

(1) 点 $Q$ の座標

原点 $O$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線は、法線ベクトル $\overrightarrow{n}=(1,1,-1)$ に平行である。したがって、点 $Q$ は

$$ Q=t(1,1,-1)=(t,t,-t) $$

と表せる。

これを平面の方程式 $x+y-z=5$ に代入すると、

$$ t+t-(-t)=5 $$

より

$$ 3t=5 $$

である。したがって

$$ t=\frac{5}{3} $$

となるから、

$$ Q\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right) $$

である。

(2) $\cos\theta$ の値

$\angle OAQ=\theta$ であるから、点 $A$ を始点とするベクトル

$$ \overrightarrow{AO}=(-2,-2,1) $$

と

$$ \overrightarrow{AQ} = \left( -\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3} \right) $$

のなす角を考える。

まず、

$$ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AQ} = (-2)\left(-\frac{1}{3}\right) +(-2)\left(-\frac{1}{3}\right) +1\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

である。また、

$$ |\overrightarrow{AO}|=\sqrt{4+4+1}=3 $$

であり、

$$ |\overrightarrow{AQ}| = \sqrt{ \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9} } = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

である。

したがって、

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AQ}} \begin{aligned} {|\overrightarrow{AO}|,|\overrightarrow{AQ}|} &= \frac{\frac{2}{3}}{3\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}}\\ &= \frac{2}{3\sqrt{6}}\\ &= \frac{\sqrt{6}}{9} \end{aligned} $$

である。

(3) $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}$ の最大値

点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} +b\overrightarrow{OB} +c\overrightarrow{OC} $$

と表され、さらに

$$ a+b+c=0 $$

を満たす。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{n} &= \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{n}\\ &= \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{n}\\ &= 5 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{n} &= 5(a+b+c)\\ &= 0 \end{aligned} $$

となる。つまり、$\overrightarrow{OP}$ は法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ に垂直であり、平面 $\alpha$ に平行な原点を通る平面上にある。

また、点 $Q$ は原点から平面 $\alpha$ への垂線の足であるから、

$$ \overrightarrow{OQ} = \left( \frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3} \right) $$

は法線方向のベクトルである。よって、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OQ}$ に垂直である。

ここで、

$$ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QA} $$

と分解できるので、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QA} $$

である。$\overrightarrow{OP}\perp\overrightarrow{OQ}$ より、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QA} $$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OQ} \\ \left( 2,2,-1 \right) &= \left( \frac{5}{3},\frac{5}{3},-\frac{5}{3} \right) = \left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ |\overrightarrow{QA}| = \sqrt{ \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9} } = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

である。

条件 $|\overrightarrow{OP}|=1$ のもとで、コーシー・シュワルツの不等式より

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QA} \le |\overrightarrow{OP}|,|\overrightarrow{QA}| = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

である。

等号は $\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{QA}$ と同じ向きの単位ベクトルであるときに成立する。$\overrightarrow{QA}$ は平面 $\alpha$ に平行な方向のベクトルであるから、このような点 $P$ は条件を満たす。

したがって、求める最大値は

$$ \frac{\sqrt{6}}{3} $$

である。

解説

この問題では、平面 $\alpha$ の法線ベクトルを最初に求めることが中心である。法線ベクトルが分かれば、垂線の足 $Q$ は原点から法線方向に進んだ点として表せる。

また、条件 $a+b+c=0$ は単なる係数条件ではなく、$\overrightarrow{OP}$ が平面 $\alpha$ に平行な原点を通る平面上を動くことを意味している。この読み替えができると、最後の最大値問題は「固定ベクトルの平面方向成分との内積を最大化する問題」になる。

特に、$\overrightarrow{OA}$ を法線方向成分 $\overrightarrow{OQ}$ と平面方向成分 $\overrightarrow{QA}$ に分解するのが有効である。$\overrightarrow{OP}$ は法線方向に垂直なので、内積に寄与するのは $\overrightarrow{QA}$ だけである。