数学C 空間ベクトル 問題 108 解説

方針・初手

直線上の点を媒介変数で表し、$xy$ 平面上にある条件 $z=0$ を使って交点を求める。

解法1

点 $A(0,0,1)$ から点 $B\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ へ向かうベクトルは

$$ \overrightarrow{AB} = \left(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt2}-1\right) $$

である。

したがって、直線 $AB$ 上の点を実数 $t$ を用いて

$$ (x,y,z) = (0,0,1) + t\left(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt2}-1\right) $$

と表すことができる。

各成分は

$$ x=\frac{t}{2},\qquad y=\frac{t}{2},\qquad z=1+t\left(\frac{1}{\sqrt2}-1\right) $$

である。

この点が $xy$ 平面上にあるとき、$z=0$ であるから、

$$ 1+t\left(\frac{1}{\sqrt2}-1\right)=0 $$

を解けばよい。

$$ t\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=1 $$

より、

$$ t=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}} $$

である。分母を整理すると、

$$ t = \frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}} \frac{\sqrt2}{\sqrt2-1} \frac{\sqrt2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)} 2+\sqrt2 $$

となる。

したがって、

$$ x=\frac{t}{2} = \frac{2+\sqrt2}{2}, \qquad y=\frac{t}{2} = \frac{2+\sqrt2}{2} $$

である。

また、

$$ \frac{2+\sqrt2}{2} = \frac{1}{2-\sqrt2} $$

が成り立つ。実際、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2-\sqrt2} &= \frac{2+\sqrt2}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}\\ &= \frac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned} $$

である。

よって交点の座標は

$$ \left(\frac{1}{2-\sqrt2},\frac{1}{2-\sqrt2},0\right) $$

である。

解説

直線と $xy$ 平面の交点を求める問題では、直線を媒介変数で表し、$xy$ 平面の条件 $z=0$ を代入するのが基本である。

この問題では、点 $B$ の $z$ 座標が $1/\sqrt2$ であり、点 $A$ の $z$ 座標 $1$ より小さい。したがって、$xy$ 平面との交点は点 $B$ をさらに進んだ先にあるため、$x,y$ 座標が $\dfrac12$ より大きくなることも確認できる。

また、答えの形が

$$ \left(\frac{1}{\boxed{\phantom{a}}},\frac{1}{\boxed{\phantom{a}}},0\right) $$

で与えられているので、最後に

$$ \frac{2+\sqrt2}{2} = \frac{1}{2-\sqrt2} $$

と変形する必要がある。

答え

$$ \left(\frac{1}{2-\sqrt2},\frac{1}{2-\sqrt2},0\right) $$

したがって、空欄に入る値は

$$ 2-\sqrt2 $$