数学C 空間ベクトル 問題 132 解説

方針・初手

正四面体では、同じ頂点から出る3本の辺の長さはすべて $3$、互いのなす角は $60^\circ$ である。したがって、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ を基底として各点を表し、内積で長さ・角度・面積を処理するのが自然である。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{p},\overrightarrow{AC}=\mathbf{q},\overrightarrow{AD}=\mathbf{r}$ とおく。正四面体の1辺の長さは $3$ であるから、

$$ |\mathbf{p}|=|\mathbf{q}|=|\mathbf{r}|=3,\qquad \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}=\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}=\frac{9}{2} $$

である。

点 $A$ を基準にすると、各点の位置ベクトルは

$$ E=\frac{1}{3}\mathbf{p},\qquad F=\frac{2}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q},\qquad G=\frac{1}{3}\mathbf{q}+\frac{2}{3}\mathbf{r},\qquad H=\frac{1}{3}\mathbf{r} $$

である。

(1)

まず長さを求める。

$$ \overrightarrow{DE} =\frac{1}{3}\mathbf{p}-\mathbf{r} $$

より、

$$ \begin{aligned} DE^2 &=\left|\frac{1}{3}\mathbf{p}-\mathbf{r}\right|^2\\ &=\frac{1}{9}|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{r}|^2-\frac{2}{3}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\\ &=1+9-3\\ &=7 \end{aligned} $$

したがって、$DE=\sqrt{7}$ である。

同様に、

$$ \overrightarrow{DF} =\frac{2}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q}-\mathbf{r} $$

だから、

$$ \begin{aligned} DF^2 &=\left|\frac{2}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q}-\mathbf{r}\right|^2\\ &=4+1+9+2-6-3\\ &=7 \end{aligned} $$

よって、$DF=\sqrt{7}$ である。

また、

$$ \overrightarrow{EF} =F-E =\frac{1}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q} $$

より、

$$ \begin{aligned} EF^2 &=\left|\frac{1}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q}\right|^2\\ &=1+1+1\\ &=3 \end{aligned} $$

したがって、$EF=\sqrt{3}$ である。

(2)

$\angle EDF$ は、ベクトル $\overrightarrow{DE}$ と $\overrightarrow{DF}$ のなす角である。

$$ \overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\mathbf{p}-\mathbf{r},\qquad \overrightarrow{DF}=\frac{2}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q}-\mathbf{r} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF} &=\left(\frac{1}{3}\mathbf{p}-\mathbf{r}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\mathbf{p}+\frac{1}{3}\mathbf{q}-\mathbf{r}\right)\\ &=2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-3-\frac{3}{2}+9\\ &=\frac{11}{2} \end{aligned} $$

また、$DE=DF=\sqrt{7}$ であるから、

$$ \cos\angle EDF =\frac{\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF}}{DE\cdot DF} =\frac{\frac{11}{2}}{7} =\frac{11}{14} $$

である。

(3)

三角形 $EDF$ の面積を $S$ とする。

$$ S=\frac{1}{2}DE\cdot DF\sin\angle EDF $$

であり、

$$ \sin\angle EDF =\sqrt{1-\left(\frac{11}{14}\right)^2} =\sqrt{\frac{75}{196}} =\frac{5\sqrt{3}}{14} $$

である。したがって、

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} =\frac{5\sqrt{3}}{4} $$

である。

(4)

四面体の体積比は、同じ基底 $\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}$ に関する係数行列の行列式の絶対値で求められる。

四面体 $ABCD$ の体積は、$\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}$ による平行六面体の体積の $\frac{1}{6}$ である。

一方、四面体 $BDEF$ について、頂点 $B$ を基準にすると、

$$ D-B=(-1,0,1),\qquad E-B=\left(-\frac{2}{3},0,0\right),\qquad F-B=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right) $$

である。したがって体積比は

$$ \left| \begin{vmatrix} -1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \right| =\frac{2}{9} $$

である。

よって、

$$ \text{四面体 }BDEF:\text{四面体 }ABCD=2:9 $$

である。

(5)

点の位置を

$$ x\mathbf{p}+y\mathbf{q}+z\mathbf{r} $$

と表す。平面 $\pi$ の方程式を

$$ lx+my+nz=d $$

とおく。

$E,F,G,H$ を代入すると、

$$ E\left(\frac{1}{3},0,0\right),\quad F\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0\right),\quad G\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),\quad H\left(0,0,\frac{1}{3}\right) $$

であるから、平面 $\pi$ は

$$ x-y+z=\frac{1}{3} $$

と表せる。

まず、$\pi$ に平行で点 $A$ を通る平面は

$$ x-y+z=0 $$

である。

辺 $BC$ 上の点を

$$ (1-t,t,0) $$

とおく。このとき $t=\frac{BI}{BC}$ である。これを $x-y+z=0$ に代入すると、

$$ 1-t-t=0 $$

より、

$$ t=\frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ BI:IC=1:1 $$

である。

次に、$\pi$ に垂直で線分 $EH$ を含む平面を考える。ここで注意すべき点は、$\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}$ は直交基底ではないため、方程式 $x-y+z=\frac{1}{3}$ の係数 $(1,-1,1)$ がそのまま法線ベクトルの成分になるわけではないことである。

平面 $\pi$ の法線ベクトルを

$$ \mathbf{N}=\alpha\mathbf{p}+\beta\mathbf{q}+\gamma\mathbf{r} $$

とおく。$\mathbf{N}\cdot\mathbf{p}:\mathbf{N}\cdot\mathbf{q}:\mathbf{N}\cdot\mathbf{r}=1:-1:1$ となればよいから、計算により

$$ \mathbf{N}=3\mathbf{p}-5\mathbf{q}+3\mathbf{r} $$

を法線ベクトルとして取れる。

求める平面は、線分 $EH$ の方向ベクトル

$$ \overrightarrow{EH}=\frac{1}{3}(\mathbf{r}-\mathbf{p}) $$

と、$\pi$ の法線ベクトル $\mathbf{N}$ を含む平面である。

したがって、その平面上の点は

$$ E+\lambda(\mathbf{r}-\mathbf{p})+\mu(3\mathbf{p}-5\mathbf{q}+3\mathbf{r}) $$

と表せる。

点 $J$ は辺 $AC$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

$$ J=s\mathbf{q} $$

と表せる。この $s$ は $s=\frac{AJ}{AC}$ を意味する。

よって、

$$ s\mathbf{q}-\frac{1}{3}\mathbf{p} =\lambda(\mathbf{r}-\mathbf{p})+\mu(3\mathbf{p}-5\mathbf{q}+3\mathbf{r}) $$

とおける。$\mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r}$ の係数を比較すると、

$$ \begin{cases} -\frac{1}{3}=-\lambda+3\mu\\ s=-5\mu\\ 0=\lambda+3\mu \end{cases} $$

である。これを解くと、

$$ \mu=-\frac{1}{18},\qquad s=\frac{5}{18} $$

となる。

したがって、

$$ AJ:JC=\frac{5}{18}:\frac{13}{18}=5:13 $$

である。

解説

この問題では、正四面体の対称性をそのまま図形的に扱うより、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ を基底として計算する方が安定する。

重要なのは、これら3本のベクトルは長さが等しく、互いの内積がすべて $\frac{9}{2}$ であるという点である。これにより、長さ・角度・面積はすべて内積計算に落とせる。

また、最後の平面の問題では、斜交基底での平面方程式の係数をそのまま法線ベクトルと見なしてはいけない。ここを誤ると、$AJ:JC$ がずれる。法線ベクトルを内積条件から求めることが、この問題の最も注意すべき点である。

答え

(1)

$$ DE=\sqrt{7},\qquad DF=\sqrt{7},\qquad EF=\sqrt{3} $$

したがって、

$$ \text{ア}=7,\qquad \text{イ}=7,\qquad \text{ウ}=3 $$

(2)

$$ \cos\angle EDF=\frac{11}{14} $$

したがって、

$$ \text{エオ}=11,\qquad \text{カキ}=14 $$

(3)

$$ \triangle EDF=\frac{5\sqrt{3}}{4} $$

したがって、

$$ \text{ク}=5,\qquad \text{ケ}=3,\qquad \text{コ}=4 $$

(4)

$$ \text{四面体 }BDEF:\text{四面体 }ABCD=2:9 $$

したがって、

$$ \text{サ}=2,\qquad \text{シ}=9 $$

(5)

$$ BI:IC=1:1,\qquad AJ:JC=5:13 $$

したがって、

$$ \text{ス}=1,\qquad \text{セ}=1,\qquad \text{ソ}=5,\qquad \text{タチ}=13 $$