数学C 空間ベクトル 問題 143 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x,y,z)$ とおく。四面体 $OABP$ は底面 $OAB$ が $xy$ 平面上にあるので、体積は点 $P$ の $z$ 座標の絶対値で決まる。

したがって、条件

$$ \left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}\right|\leqq 36 $$

から $z$ の取りうる範囲を求め、$|z|$ を最大にすればよい。

解法1

$P=(x,y,z)$ とする。

$$ \overrightarrow{PA}=A-P,\quad \overrightarrow{PB}=B-P,\quad \overrightarrow{PC}=C-P $$

であるから、

$$ \overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC} =A+3B+2C-6P $$

となる。ここで

$$ \begin{aligned} A+3B+2C &=(-3,2,0)+3(1,5,0)+2(4,5,1)\\ &=(-3,2,0)+(3,15,0)+(8,10,2)\\ &=(8,27,2) \end{aligned} $$

である。よって条件は

$$ \left|(8,27,2)-6(x,y,z)\right|\leqq 36 $$

である。

両辺を $6$ で割ると、

$$ \left|\left(\frac{4}{3},\frac{9}{2},\frac{1}{3}\right)-(x,y,z)\right|\leqq 6 $$

となる。つまり、$P$ は中心

$$ \left(\frac{4}{3},\frac{9}{2},\frac{1}{3}\right) $$

半径 $6$ の球の内部または表面にある。

次に、四面体 $OABP$ の体積を $z$ で表す。点 $O,A,B$ はいずれも $xy$ 平面上にあるので、底面 $OAB$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\left|(-3)\cdot 5-2\cdot 1\right| =\frac{1}{2}\left|-15-2\right| =\frac{17}{2} $$

である。

点 $P=(x,y,z)$ から平面 $OAB$、すなわち $xy$ 平面までの距離は $|z|$ である。したがって、四面体 $OABP$ の体積 $V$ は

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{17}{2}\cdot |z| =\frac{17}{6}|z| $$

となる。

よって、体積を最大にするには、条件を満たす $P$ に対して $|z|$ を最大にすればよい。

$P$ は中心の $z$ 座標が $\frac{1}{3}$、半径 $6$ の球内にあるから、$z$ の範囲は

$$ \frac{1}{3}-6\leqq z\leqq \frac{1}{3}+6 $$

すなわち

$$ -\frac{17}{3}\leqq z\leqq \frac{19}{3} $$

である。

この範囲で $|z|$ が最大となるのは

$$ z=\frac{19}{3} $$

のときであり、その最大値は

$$ |z|=\frac{19}{3} $$

である。

したがって、体積の最大値は

$$ V_{\max} =\frac{17}{6}\cdot \frac{19}{3} =\frac{323}{18} $$

である。

このとき $z\neq 0$ なので、$O,A,B,P$ は同一平面上にないという条件も満たしている。

解説

この問題の本質は、ベクトル条件を点 $P$ の存在範囲に変換することである。

$$ \overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC} $$

は一見複雑だが、$P$ を用いて展開すると

$$ A+3B+2C-6P $$

となり、$P$ を中心とする球の条件に変わる。

また、$O,A,B$ はすべて $z=0$ の平面上にあるため、四面体 $OABP$ の体積は $P$ の $z$ 座標だけで決まる。球の中で $|z|$ を最大にする点を考えればよい。

答え

$$ \frac{323}{18} $$