数学C 二次曲線の軌跡 問題 2 解説

方針・初手

まず、放物線 $C:y=x^2$ の点 $(a,a^2)$ における接線を求める。接線の交点 $R(X,Y)$ は、$P,Q$ における2本の接線を連立すれば得られる。

(2)では、$\angle PRQ$ は点 $R$ から見た2つのベクトル $\overrightarrow{RP},\overrightarrow{RQ}$ のなす角である。したがって、直線の傾きだけで処理せず、内積を用いて条件を式にする。

解法1

放物線 $y=x^2$ の点 $(a,a^2)$ における接線は

$$ y=2ax-a^2 $$

である。

したがって、点 $P(t,t^2)$ における接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

点 $Q(s,s^2)$ における接線は

$$ y=2sx-s^2 $$

である。

この2直線の交点を $R(X,Y)$ とすると、

$$ 2tX-t^2=2sX-s^2 $$

である。$s<t$ より $s\neq t$ だから、

$$ 2(t-s)X=t^2-s^2=(t-s)(t+s) $$

となり、

$$ X=\frac{s+t}{2} $$

を得る。

これを $y=2tx-t^2$ に代入すると、

$$ Y=2t\cdot \frac{s+t}{2}-t^2=ts+t^2-t^2=st $$

である。よって

$$ X=\frac{s+t}{2},\qquad Y=st $$

である。

次に、$\angle PRQ=\dfrac{\pi}{4}$ という条件を調べる。

$R\left(\dfrac{s+t}{2},st\right)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{RP} &= \left(t-\frac{s+t}{2},t^2-st\right) \\ \left(\frac{t-s}{2},t(t-s)\right) \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{RQ} &= \left(s-\frac{s+t}{2},s^2-st\right) \\ \left(-\frac{t-s}{2},-s(t-s)\right) \end{aligned} $$

である。

ここで $t-s>0$ なので、

$$ \overrightarrow{RP}=(t-s)\left(\frac12,t\right),\qquad \overrightarrow{RQ}=-(t-s)\left(\frac12,s\right) $$

と書ける。

よって内積は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ} &= -(t-s)^2\left(\frac14+st\right) \end{aligned} $$

であり、大きさは

$$ |\overrightarrow{RP}|=(t-s)\sqrt{\frac14+t^2},\qquad |\overrightarrow{RQ}|=(t-s)\sqrt{\frac14+s^2} $$

である。

$\angle PRQ=\dfrac{\pi}{4}$ より

$$ \begin{aligned} \frac{\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}} {|\overrightarrow{RP}|,|\overrightarrow{RQ}|} &= \frac{1}{\sqrt2} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{-(\frac14+st)} {\sqrt{\left(\frac14+t^2\right)\left(\frac14+s^2\right)}} &= \frac{1}{\sqrt2} \end{aligned} $$

である。特に左辺が正でなければならないので、

$$ \frac14+st<0 $$

である。

両辺を2乗すると、

$$ \begin{aligned} 2\left(\frac14+st\right)^2 &= \left(\frac14+t^2\right)\left(\frac14+s^2\right) \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ X=\frac{s+t}{2},\qquad Y=st $$

より、

$$ s+t=2X,\qquad st=Y $$

である。また、

$$ s^2+t^2=(s+t)^2-2st=4X^2-2Y $$

である。

したがって右辺は

$$ \begin{aligned} \left(\frac14+t^2\right)\left(\frac14+s^2\right) &=\frac1{16}+\frac{s^2+t^2}{4}+s^2t^2 \\ &=\frac1{16}+\frac{4X^2-2Y}{4}+Y^2 \\ &=Y^2+X^2-\frac{Y}{2}+\frac1{16} \end{aligned} $$

である。

一方、左辺は

$$ \begin{aligned} 2\left(\frac14+Y\right)^2 &= 2Y^2+Y+\frac18 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} 2Y^2+Y+\frac18 &= Y^2+X^2-\frac{Y}{2}+\frac1{16} \end{aligned} $$

となる。整理すると、

$$ X^2=Y^2+\frac32Y+\frac1{16} $$

である。したがって

$$ Y^2+\frac32Y+\frac1{16}-X^2=0 $$

すなわち

$$ \left(Y+\frac34\right)^2-X^2=\frac12 $$

である。

これは中心 $(0,-\frac34)$ の双曲線である。

なお、$\frac14+st<0$ より

$$ Y<-\frac14 $$

であるから、実際に点 $R$ が動く部分はこの双曲線の下側の枝である。

解説

この問題の注意点は、$\angle PRQ$ が「2本の接線のなす角」ではなく、点 $R$ から点 $P,Q$ を見たときのベクトル $\overrightarrow{RP},\overrightarrow{RQ}$ のなす角である点である。

接線の傾きだけで角度公式を使うと、直線としての鋭角・鈍角の扱いを誤る可能性がある。ここでは内積を用いることで、点 $R$ を頂点とする角を直接処理できる。

また、$R$ の座標が

$$ X=\frac{s+t}{2},\qquad Y=st $$

と対称式で表されるため、最後は $s+t=2X,\ st=Y$ を用いて $s,t$ を消去するのが自然である。

答え

(1)

$$ X=\frac{s+t}{2},\qquad Y=st $$

(2)

点 $R$ は双曲線

$$ \left(Y+\frac34\right)^2-X^2=\frac12 $$

上を動く。

ただし、実際に動く部分は

$$ Y<-\frac14 $$

を満たす下側の枝である。