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東京大学 2012年理系第3問解説

方針・初手

境界線となる2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $\frac{x^2}{4} + 4y^2 = \frac{1}{8}$ の交点を求め、領域 $S$ の形状を把握する。

（1）は、$x$ 軸まわりの回転体の体積については上下の境界の式を2乗して引き算する定式化で計算し、$y$ 軸まわりの回転体の体積については $y$ 軸に垂直な平面で切断する円板の面積を積分して求める。

（2）は、求めた体積の比を計算し、無理数を含む分子と分母の大小を、それぞれを2乗することで比較する。

解法1

2つの不等式を等号にした境界線の交点を求める。

$$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ \frac{x^2}{4} + 4y^2 = \frac{1}{8} \end{cases} $$

第1式より $x^2 = 2y$ であるから、これを第2式に代入する。

$$ \frac{2y}{4} + 4y^2 = \frac{1}{8} $$

$$ 32y^2 + 4y - 1 = 0 $$

$$ (8y - 1)(4y + 1) = 0 $$

領域 $S$ は $y \geqq \frac{1}{2}x^2 \geqq 0$ より $y \geqq 0$ であるから、$y = \frac{1}{8}$ である。このとき $x^2 = \frac{1}{4}$ となり、$x = \pm\frac{1}{2}$ である。よって、2曲線の交点は $\left( \pm\frac{1}{2}, \frac{1}{8} \right)$ である。

また、楕円の式について $y \geqq 0$ の範囲では、式を以下のように変形できる。

$$ y = \sqrt{\frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}} $$

あるいは $x$ について解くと、

$$ x^2 = \frac{1}{2} - 16y^2 $$

(1)

$S$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_1$ を求める。 $y$ 軸対称性より、$x \geqq 0$ の部分を回転させた体積を2倍して計算する。

$$ V_1 = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left\{ \left( \sqrt{\frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}} \right)^2 - \left( \frac{1}{2}x^2 \right)^2 \right\} dx $$

$$ V_1 = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{32} - \frac{x^2}{16} - \frac{1}{4}x^4 \right) dx $$

$$ V_1 = 2\pi \left[ \frac{1}{32}x - \frac{1}{48}x^3 - \frac{1}{20}x^5 \right]_0^{\frac{1}{2}} $$

$$ V_1 = 2\pi \left( \frac{1}{64} - \frac{1}{384} - \frac{1}{640} \right) $$

通分すると最小公倍数は $1920$ であるから、

$$ V_1 = 2\pi \left( \frac{30}{1920} - \frac{5}{1920} - \frac{3}{1920} \right) = 2\pi \cdot \frac{22}{1920} = \frac{11}{480}\pi $$

次に、$S$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V_2$ を求める。領域 $S$ の $y$ の範囲は、$x=0$ のとき楕円の式より $y = \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$ であるから、$0 \leqq y \leqq \frac{\sqrt{2}}{8}$ である。回転軸からの距離（半径）は、$0 \leqq y \leqq \frac{1}{8}$ の区間では放物線 $x^2 = 2y$、$ \frac{1}{8} \leqq y \leqq \frac{\sqrt{2}}{8}$ の区間では楕円 $x^2 = \frac{1}{2} - 16y^2$ によって決まる。

$$ V_2 = \pi \int_{0}^{\frac{1}{8}} (2y) dy + \pi \int_{\frac{1}{8}}^{\frac{\sqrt{2}}{8}} \left( \frac{1}{2} - 16y^2 \right) dy $$

$$ V_2 = \pi \left[ y^2 \right]_0^{\frac{1}{8}} + \pi \left[ \frac{1}{2}y - \frac{16}{3}y^3 \right]_{\frac{1}{8}}^{\frac{\sqrt{2}}{8}} $$

$$ V_2 = \pi \left( \frac{1}{64} \right) + \pi \left\{ \left( \frac{\sqrt{2}}{16} - \frac{16}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{512} \right) - \left( \frac{1}{16} - \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{512} \right) \right\} $$

$$ V_2 = \frac{\pi}{64} + \pi \left\{ \left( \frac{\sqrt{2}}{16} - \frac{\sqrt{2}}{48} \right) - \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{96} \right) \right\} $$

$$ V_2 = \pi \left( \frac{1}{64} + \frac{2\sqrt{2}}{48} - \frac{5}{96} \right) $$

$$ V_2 = \pi \left( \frac{3}{192} + \frac{8\sqrt{2}}{192} - \frac{10}{192} \right) = \frac{8\sqrt{2} - 7}{192}\pi $$

(2)

（1）の結果より、

$$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8\sqrt{2} - 7}{192}\pi}{\frac{11}{480}\pi} = \frac{8\sqrt{2} - 7}{192} \cdot \frac{480}{11} = \frac{5(8\sqrt{2} - 7)}{22} = \frac{40\sqrt{2} - 35}{22} $$

この値と $1$ の大小を比較するため、差を計算する。

$$ \frac{40\sqrt{2} - 35}{22} - 1 = \frac{40\sqrt{2} - 57}{22} $$

ここで、$40\sqrt{2}$ と $57$ はともに正であるため、それぞれの2乗の大小を比較する。

$$ (40\sqrt{2})^2 = 1600 \cdot 2 = 3200 $$

$$ 57^2 = (50 + 7)^2 = 2500 + 700 + 49 = 3249 $$

$(40\sqrt{2})^2 < 57^2$ であるから、$40\sqrt{2} < 57$ が成り立つ。したがって、$40\sqrt{2} - 57 < 0$ となり、

$$ \frac{V_2}{V_1} < 1 $$

であると判定できる。

解法2

円筒殻法（バウムクーヘン積分）を用いた、（1）における $V_2$ の別解を示す。

$V_2$ は、領域 $S$ の $x \geqq 0$ の部分を $y$ 軸まわりに回転させた体積であるから、円筒殻法を用いると区間を分けずに計算できる。

$$ V_2 = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} x \left( \sqrt{\frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}} - \frac{1}{2}x^2 \right) dx $$

$$ V_2 = 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} x \sqrt{\frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}} dx - \pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^3 dx $$

第2項の積分は以下のようになる。

$$ \pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^3 dx = \pi \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{64} $$

第1項の積分について、$t = \frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}$ とおくと $dt = -\frac{1}{8}x dx$ より $x dx = -8 dt$ となる。積分区間は、$x$ が $0$ から $\frac{1}{2}$ まで変化するとき、$t$ は $\frac{1}{32}$ から $\frac{1}{64}$ まで変化する。

$$ 2\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} x \sqrt{\frac{1}{32} - \frac{x^2}{16}} dx = 2\pi \int_{\frac{1}{32}}^{\frac{1}{64}} \sqrt{t} (-8) dt $$

$$ = 16\pi \int_{\frac{1}{64}}^{\frac{1}{32}} t^{\frac{1}{2}} dt = 16\pi \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{\frac{1}{64}}^{\frac{1}{32}} $$

$$ = \frac{32\pi}{3} \left( \frac{1}{32\sqrt{32}} - \frac{1}{64\sqrt{64}} \right) = \frac{32\pi}{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{256} - \frac{1}{512} \right) $$

$$ = \frac{32\pi}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2} - 1}{512} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{48}\pi $$

これらをまとめて $V_2$ を求める。

$$ V_2 = \frac{2\sqrt{2} - 1}{48}\pi - \frac{1}{64}\pi = \frac{4(2\sqrt{2} - 1) - 3}{192}\pi = \frac{8\sqrt{2} - 7}{192}\pi $$