東北大学 1998年 理系 第6問 解説

方針・初手

(1) 円の中心を $O(a,b)$ とすると，円周上の点 $Q$ に対して $OQ=r$ である。したがって $PQ$ の最小値は，三角不等式

$$ PQ \geqq |OP-OQ| $$

を使えば求められる。

(2) (1) の結果より，点 $P$ から円までの距離は「中心までの距離」と「半径」の差の絶対値で表される。よって，2つの円から等距離という条件は，2つの焦点からの距離の和または差が一定となる条件に直せる。

解法1

(1) 点 $P(p,q)$ と円 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ の距離

円の中心を $O(a,b)$ とし，

$$ OP=\sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2} $$

とおく。

円周上の任意の点 $Q(x,y)$ に対して $OQ=r$ であるから，三角不等式より

$$ PQ \geqq |OP-OQ|=|OP-r| $$

が成り立つ。

しかも，$O,P,Q$ が一直線上に並ぶように $Q$ をとれば等号が成り立つので，$PQ$ の最小値 $d$ は

$$ d=|OP-r| $$

である。

したがって，

(i) $P$ が円 $C$ の外部にあるとき，$OP>r$ だから

$$ d=OP-r=\sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2}-r $$

である。

(ii) $P$ が円 $C$ の内部にあるとき，$OP<r$ だから

$$ d=r-OP=r-\sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2} $$

である。

なお，$P$ が円周上にあるときは $d=0$ である。

(2) 2つの円 $C_1,C_2$ から等距離にある点 $P$ の軌跡

$P(x,y)$ とし，$C_1,C_2$ の中心をそれぞれ

$$ O_1(-4,0),\qquad O_2(4,0) $$

とする。

半径は

$$ C_1:\ 9,\qquad C_2:\ 7 $$

であるから，(1) より $P$ から各円までの距離は

$$ d(P,C_1)=\left|\sqrt{(x+4)^2+y^2}-9\right| $$

$$ d(P,C_2)=\left|\sqrt{(x-4)^2+y^2}-7\right| $$

となる。

これらが等しいので，

$$ \left|\sqrt{(x+4)^2+y^2}-9\right| ================================= \left|\sqrt{(x-4)^2+y^2}-7\right| $$

である。よって

$$ \sqrt{(x+4)^2+y^2}-9 ==================== \pm\left(\sqrt{(x-4)^2+y^2}-7\right) $$

となり，次の2場合に分かれる。

(i)

$$ \sqrt{(x+4)^2+y^2}-9=\sqrt{(x-4)^2+y^2}-7 $$

このとき

$$ \sqrt{(x+4)^2+y^2}-\sqrt{(x-4)^2+y^2}=2 $$

である。

これは，2点 $O_1,O_2$ からの距離の差が一定 $2$ である点の軌跡であるから，焦点を $(-4,0),(4,0)$ とする双曲線である。

焦点間距離は $2c=8$ より $c=4$，距離の差が $2$ だから $2a=2$ より $a=1$ である。したがって

$$ b^2=c^2-a^2=16-1=15 $$

となるので，双曲線の方程式は

$$ \frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{15}=1 $$

である。

ただし，もとの条件は

$$ PO_1-PO_2=2 $$

であるから，この双曲線のうち右側の枝に限る。

(ii)

$$ \sqrt{(x+4)^2+y^2}-9 ==================== -\left(\sqrt{(x-4)^2+y^2}-7\right) $$

このとき

$$ \sqrt{(x+4)^2+y^2}+\sqrt{(x-4)^2+y^2}=16 $$

である。

これは，2点 $O_1,O_2$ からの距離の和が一定 $16$ である点の軌跡であるから，焦点を $(-4,0),(4,0)$ とする楕円である。

ここで

$$ 2a=16 \quad \Rightarrow \quad a=8,\qquad c=4 $$

より，

$$ b^2=a^2-c^2=64-16=48 $$

である。したがって楕円の方程式は

$$ \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1 $$

となる。

以上より，求める軌跡は

$$ \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1 $$

と

$$ x^2-\frac{y^2}{15}=1 $$

の右側の枝との和集合である。

解説

(1) の本質は，「点から円までの最短距離」は中心までの距離と半径の差の絶対値になる，ということである。これは三角不等式で直ちに押さえられる基本事項である。

(2) では，円までの距離を中心までの距離に直し，絶対値を外すと，焦点からの距離の差が一定または和が一定という形になる。したがって双曲線と楕円が自然に現れる。ここで，双曲線は両枝全部ではなく，符号条件に対応する片方の枝だけを取る点が注意点である。

答え

$$ \text{(1)}\quad d= \begin{cases} \sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2}-r & (P \text{ が } C \text{ の外部}) \\ r-\sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2} & (P \text{ が } C \text{ の内部}) \end{cases} $$

$$ \text{(2)}\quad \text{軌跡は } \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1 \text{ と } x^2-\frac{y^2}{15}=1 \text{ の右側の枝の和集合} $$

である。