数学C 二次曲線の軌跡 問題 3 解説

方針・初手

交点 $P(s,t)$ は第1象限にあるので、$s>0,\ t>0$ である。まず $s^2,\ t^2$ を未知数として連立方程式を解く。

直交条件は、2曲線の接線の傾きの積が $-1$ となることを用いる。最後は、(2) で得た関係式を使って $a,b$ を消去する。

解法1

$P(s,t)$ は $C_1,\ C_2$ の交点であるから、

$$ s^2-\frac{t^2}{a^2}=1,\qquad \frac{s^2}{b^2}+t^2=1 $$

を満たす。ここで $X=s^2,\ Y=t^2$ とおくと、

$$ X-\frac{Y}{a^2}=1,\qquad \frac{X}{b^2}+Y=1 $$

である。

第1式より

$$ X=1+\frac{Y}{a^2} $$

となる。これを第2式に代入すると、

$$ \frac{1}{b^2}+\frac{Y}{a^2b^2}+Y=1 $$

であるから、

$$ Y\left(1+\frac{1}{a^2b^2}\right)=1-\frac{1}{b^2} $$

となる。よって

$$ Y=\frac{a^2(b^2-1)}{1+a^2b^2} $$

である。また、

$$ X=1+\frac{b^2-1}{1+a^2b^2} =\frac{b^2(a^2+1)}{1+a^2b^2} $$

である。

$P$ は第1象限にあるので正の平方根をとり、

$$ s=\frac{b\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{1+a^2b^2}},\qquad t=\frac{a\sqrt{b^2-1}}{\sqrt{1+a^2b^2}} $$

である。

次に、接線の傾きを求める。

$C_1:x^2-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ を微分すると、

$$ 2x-\frac{2y}{a^2}\frac{dy}{dx}=0 $$

より、

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{a^2x}{y} $$

である。したがって、$P(s,t)$ における $C_1$ の接線 $L_1$ の傾きは

$$ m_1=\frac{a^2s}{t} $$

である。

また、$C_2:\dfrac{x^2}{b^2}+y^2=1$ を微分すると、

$$ \frac{2x}{b^2}+2y\frac{dy}{dx}=0 $$

より、

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{b^2y} $$

である。したがって、$P(s,t)$ における $C_2$ の接線 $L_2$ の傾きは

$$ m_2=-\frac{s}{b^2t} $$

である。

$L_1$ と $L_2$ が直交する条件は $m_1m_2=-1$ であるから、

$$ \frac{a^2s}{t}\left(-\frac{s}{b^2t}\right)=-1 $$

より、

$$ a^2s^2=b^2t^2 $$

である。

ここに先ほど求めた $s^2,\ t^2$ を代入すると、

$$ a^2\cdot \frac{b^2(a^2+1)}{1+a^2b^2} = b^2\cdot \frac{a^2(b^2-1)}{1+a^2b^2} $$

となる。$a>0,\ b>1$ であるから $a^2b^2\neq 0$ であり、両辺を整理して

$$ a^2+1=b^2-1 $$

を得る。したがって、

$$ b^2=a^2+2 $$

である。$b>1$ より、

$$ b=\sqrt{a^2+2} $$

である。

最後に、この条件のもとで $P$ の軌跡を求める。$b^2=a^2+2$ を $s^2,\ t^2$ に代入する。

$$ s^2=\frac{b^2(a^2+1)}{1+a^2b^2} =\frac{(a^2+2)(a^2+1)}{1+a^2(a^2+2)} $$

ここで、

$$ 1+a^2(a^2+2)=a^4+2a^2+1=(a^2+1)^2 $$

であるから、

$$ s^2=\frac{a^2+2}{a^2+1} $$

となる。

同様に、

$$ t^2=\frac{a^2(b^2-1)}{1+a^2b^2} =\frac{a^2(a^2+1)}{(a^2+1)^2} =\frac{a^2}{a^2+1} $$

である。

したがって、

$$ s^2+t^2 = \frac{a^2+2}{a^2+1} + \frac{a^2}{a^2+1} = 2 $$

となる。よって $P(s,t)$ は円

$$ x^2+y^2=2 $$

上にある。

ただし $a>0$ であるから、

$$ t^2=\frac{a^2}{a^2+1} $$

より

$$ 0<t<1 $$

である。また、

$$ s^2=\frac{a^2+2}{a^2+1}=1+\frac{1}{a^2+1} $$

より

$$ 1<s<\sqrt{2} $$

である。

したがって、$P$ の軌跡は

$$ x^2+y^2=2,\qquad 1<x<\sqrt{2},\quad 0<y<1 $$

で表される円弧である。端点 $(\sqrt{2},0)$ および $(1,1)$ は含まれない。

解説

この問題では、交点の座標を直接求めるときに $s,t$ ではなく $s^2,t^2$ を未知数にするのが自然である。どちらの曲線も $x^2,y^2$ の式で書かれているため、連立方程式が一次方程式として処理できる。

接線の直交条件では、接線の傾きを微分で求めて積を $-1$ とすればよい。第1象限の交点なので $s,t>0$ であり、傾きの式の分母が $0$ になる心配はない。

軌跡では、(2) の条件 $b^2=a^2+2$ を代入して $a$ を消去する。円 $x^2+y^2=2$ 全体ではなく、$a>0$ に対応する範囲だけを答える必要がある点に注意する。

答え

(1)

$$ s=\frac{b\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{1+a^2b^2}},\qquad t=\frac{a\sqrt{b^2-1}}{\sqrt{1+a^2b^2}} $$

(2)

$$ b=\sqrt{a^2+2} $$

(3)

$$ x^2+y^2=2,\qquad 1<x<\sqrt{2},\quad 0<y<1 $$

すなわち、円 $x^2+y^2=2$ の第1象限にある円弧のうち、端点 $(\sqrt{2},0)$ と $(1,1)$ を除いた部分である。