数学C 楕円 問題 11 解説

方針・初手

点 $P$ を放物線上の点として $P=(t^2,t)$ とおく。ただし条件より $t>1$ である。

楕円に引いた2本の接線が垂直に交わる条件を、点 $P=(u,v)$ から楕円 $2x^2+y^2=2$ に引いた接線の傾きについて求める。

解法1

点 $P=(u,v)$ から引いた接線の傾きを $m$ とする。この直線は

$$ y-v=m(x-u) $$

である。これを楕円

$$ 2x^2+y^2=2 $$

に代入すると、

$$ 2x^2+{m(x-u)+v}^2=2 $$

となる。

整理すると、

$$ (2+m^2)x^2+2m(v-mu)x+(v-mu)^2-2=0 $$

である。この直線が楕円に接するためには、この $x$ についての2次方程式の判別式が $0$ になればよい。

したがって

$$ {2m(v-mu)}^2-4(2+m^2){(v-mu)^2-2}=0 $$

である。両辺を $4$ で割って整理すると、

$$ m^2(v-mu)^2-(2+m^2){(v-mu)^2-2}=0 $$

より、

$$ (v-mu)^2=m^2+2 $$

となる。これを展開すると、

$$ v^2-2uvm+u^2m^2=m^2+2 $$

であるから、

$$ (u^2-1)m^2-2uvm+(v^2-2)=0 $$

を得る。

この2次方程式の2つの解が、点 $P$ から楕円に引いた2本の接線の傾きである。これらを $m_1,m_2$ とすると、解と係数の関係より

$$ m_1m_2=\frac{v^2-2}{u^2-1} $$

である。

2本の接線が垂直に交わるから、

$$ m_1m_2=-1 $$

でなければならない。よって

$$ \frac{v^2-2}{u^2-1}=-1 $$

である。$t>1$ より $u=t^2>1$ なので $u^2-1\neq 0$ であり、両辺に $u^2-1$ をかけて

$$ v^2-2=-(u^2-1) $$

すなわち

$$ u^2+v^2=3 $$

を得る。

ここで点 $P$ は放物線 $x=y^2$ 上にあるので、

$$ P=(t^2,t) $$

とおける。したがって

$$ u=t^2,\qquad v=t $$

である。これを $u^2+v^2=3$ に代入すると、

$$ t^4+t^2=3 $$

である。

ここで求める $x$ 座標は $x=t^2$ なので、$X=t^2$ とおくと、

$$ X^2+X-3=0 $$

となる。これを解くと、

$$ X=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} $$

である。

ただし $t>1$ より $X=t^2>1$ である。したがって適するのは

$$ X=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} $$

である。

よって、点 $P$ の $x$ 座標は

$$ \frac{\sqrt{13}-1}{2} $$

である。

解法2

楕円

$$ \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}=1 $$

に対して、外部の点から引いた2本の接線が垂直に交わる点の軌跡は準円であり、

$$ x^2+y^2=1+2=3 $$

である。

したがって点 $P$ は、放物線

$$ x=y^2 $$

と円

$$ x^2+y^2=3 $$

の共通部分にある。

点 $P=(t^2,t)$ とおくと、$t>1$ であり、

$$ (t^2)^2+t^2=3 $$

すなわち

$$ t^4+t^2=3 $$

である。

求める $x$ 座標を $X=t^2$ とおくと、

$$ X^2+X-3=0 $$

より、

$$ X=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2} $$

である。条件 $t>1$ より $X=t^2>1$ であるから、

$$ X=\frac{\sqrt{13}-1}{2} $$

である。

解説

この問題の中心は、「楕円に外部の点から引いた2本の接線が垂直」という条件をどう処理するかである。

解法1では、接線の傾きを $m$ として判別式条件を使い、接線の傾きが満たす2次方程式を作った。2本の接線が垂直であることは、傾きの積が $-1$ であることに対応する。

解法2では、楕円の準円を利用して一気に処理している。楕円

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

の準円は

$$ x^2+y^2=a^2+b^2 $$

である。本問では $a^2=1,\ b^2=2$ なので、準円は $x^2+y^2=3$ である。

答え

$$ \boxed{\frac{\sqrt{13}-1}{2}} $$