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数学C 楕円問題 24 解説

方針・初手

$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ なので、三角形 $OAB$ は $O$ を直角とする直角三角形である。まず直角三角形の面積から、斜辺 $AB$ への高さ $h$ と $OA,OB$ の関係を出す。

その後、$OA$ の向きを角 $\theta$ で表し、$OB$ はそれに直交する方向にあることを利用して、楕円の式から $\dfrac{1}{OA^2},\dfrac{1}{OB^2}$ を求める。

解法1

(1)

$OA=p,\ OB=q$ とおく。$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ であるから、三平方の定理より

$$ AB^2=p^2+q^2 $$

である。

また、三角形 $OAB$ の面積を2通りに表す。直角をはさむ2辺を底辺と高さと見ると、面積は

$$ \frac{1}{2}pq $$

である。一方、$AB$ を底辺とし、原点 $O$ から直線 $AB$ への距離を $h$ と見ると、面積は

$$ \frac{1}{2}AB\cdot h $$

である。したがって

$$ \frac{1}{2}pq=\frac{1}{2}AB\cdot h $$

より

$$ h=\frac{pq}{AB} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{h^2} &= \frac{AB^2}{p^2q^2}\\ &= \frac{p^2+q^2}{p^2q^2}\\ &= \frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2} \end{aligned} $$

である。$p=OA,\ q=OB$ であるから、

$$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} $$

が示された。

(2)

$OA=r$ とし、半直線 $OA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とする。このとき

$$ A=(r\cos\theta,\ r\sin\theta) $$

と表せる。

点 $A$ は楕円

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

上にあるから、

$$ \frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{b^2}=1 $$

である。したがって

$$ \frac{1}{r^2} = \frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2} $$

となる。

次に、$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ より、$OB$ は $OA$ に垂直な方向にある。$OB=s$ とおくと、符号の違いは平方に影響しないので、

$$ B=(-s\sin\theta,\ s\cos\theta) $$

としてよい。

点 $B$ も楕円上にあるから、

$$ \frac{s^2\sin^2\theta}{a^2}+\frac{s^2\cos^2\theta}{b^2}=1 $$

である。したがって

$$ \frac{1}{s^2} = \frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2} $$

となる。

ここで $r=OA,\ s=OB$ であるから、(1) の結果より

$$ \begin{aligned} \frac{1}{h^2} &= \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} \\ &= \left(\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) \\ &= \frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{b^2} \\ &= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ \frac{1}{h^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} $$

である。$h>0$ なので、

$$ h= \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

を得る。

解説

この問題の核は、$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ から三角形 $OAB$ を直角三角形として扱う点である。(1) は直角三角形における「斜辺への高さ」の公式そのものであり、面積を2通りに表すのが最も自然である。

(2)

では、楕円上の点を直接パラメータ表示するよりも、$OA$ の方向を $\theta$ として、$OB$ がそれに直交する方向にあることを使うと計算が短くなる。楕円の式から $\dfrac{1}{OA^2}$ と $\dfrac{1}{OB^2}$ がそれぞれ求まり、足すと $\theta$ が消えることが重要である。