数学C 双曲線 問題 7 解説

方針・初手

距離そのものではなく、距離の2乗を最小化する。双曲線

$$ \frac{x^2}{2}-y^2=1 $$

より

$$ y^2=\frac{x^2}{2}-1 $$

であり、点 $P(x,y)$ が存在するためには $|x|\ge \sqrt{2}$ である。したがって、距離の2乗を $x$ だけの関数に直して、定義域 $|x|\ge \sqrt{2}$ 上で最小化すればよい。

解法1

点 $P(x,y)$ と点 $A(a,0)$ の距離の2乗を $D$ とおくと、

$$ D=(x-a)^2+y^2 $$

である。双曲線の式から

$$ y^2=\frac{x^2}{2}-1 $$

なので、

$$ D=(x-a)^2+\frac{x^2}{2}-1 $$

となる。これを整理すると、

$$ D=\frac{3}{2}x^2-2ax+a^2-1 $$

である。

これは $x$ について下に凸の2次関数であり、平方完成すると

$$ D=\frac{3}{2}\left(x-\frac{2a}{3}\right)^2+\frac{a^2}{3}-1 $$

となる。ただし、$x$ の定義域は

$$ x\le -\sqrt{2},\quad \sqrt{2}\le x $$

である。

したがって、頂点 $x=\dfrac{2a}{3}$ が定義域に入るかどうかで場合分けする。

(i)

$a\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき

このとき

$$ \frac{2a}{3}\ge \sqrt{2} $$

であるから、頂点 $x=\dfrac{2a}{3}$ は定義域に含まれる。よって最小値は

$$ D_{\min}=\frac{a^2}{3}-1 $$

である。したがって、

$$ f(a)=\sqrt{\frac{a^2}{3}-1} $$

となる。

(ii)

$a\le -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき

このとき

$$ \frac{2a}{3}\le -\sqrt{2} $$

であるから、同じく頂点が定義域に含まれる。よって

$$ D_{\min}=\frac{a^2}{3}-1 $$

であり、

$$ f(a)=\sqrt{\frac{a^2}{3}-1} $$

となる。

(iii)

$-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<a<\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ のとき

このとき頂点 $x=\dfrac{2a}{3}$ は定義域 $|x|\ge \sqrt{2}$ に含まれない。したがって、定義域の端である $x=\sqrt{2}$ または $x=-\sqrt{2}$ のうち、$a$ に近い方で最小になる。

$x=\sqrt{2}$ のとき

$$ D=(\sqrt{2}-a)^2 $$

であり、$x=-\sqrt{2}$ のとき

$$ D=(-\sqrt{2}-a)^2 $$

である。

よって $a\ge 0$ なら $x=\sqrt{2}$ で最小となり、$a\le 0$ なら $x=-\sqrt{2}$ で最小となる。したがって、

$$ f(a)=\left||a|-\sqrt{2}\right| $$

である。

以上より、

$$ f(a)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1} & \left(|a|\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right),\\ \left||a|-\sqrt{2}\right| & \left(|a|\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right). \end{cases} $$

解説

この問題では、双曲線上の点 $P$ をそのまま $x,y$ の2変数で扱うより、双曲線の式を使って距離の2乗を $x$ だけの関数にするのが自然である。

注意すべき点は、$y^2=\dfrac{x^2}{2}-1$ としたあと、$x$ はすべての実数を動けるわけではなく、

$$ |x|\ge \sqrt{2} $$

という制限をもつことである。この制限を忘れると、常に頂点で最小になると誤って判断してしまう。

曲線 $b=f(a)$ は偶関数である。したがって $b$ 軸に関して対称である。概形は次の特徴をもつ。

• $a=\pm \sqrt{2}$ で $b=0$ となる。
• $a=0$ で $b=\sqrt{2}$ となる。
• $|a|\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ では折れ線になる。
• $|a|\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ では $b=\sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1}$ になる。
• $a=\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ で折れ線部分と曲線部分は滑らかにつながる。

より詳しく書くと、

$$ b=f(a)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1} & \left(a\le -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right),\\ -a-\sqrt{2} & \left(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\le a\le -\sqrt{2}\right),\\ a+\sqrt{2} & \left(-\sqrt{2}\le a\le 0\right),\\ \sqrt{2}-a & \left(0\le a\le \sqrt{2}\right),\\ a-\sqrt{2} & \left(\sqrt{2}\le a\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right),\\ \sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1} & \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\le a\right). \end{cases} $$

これに基づいて、$a=\pm\sqrt{2}$ で $b=0$ となる左右対称の折れ線と、その外側に続く平方根型の曲線を描けばよい。

答え

(1)

$$ f(a)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{a^2}{3}-1} & \left(|a|\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right),\\ \left||a|-\sqrt{2}\right| & \left(|a|\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right). \end{cases} $$

(2)

曲線 $b=f(a)$ は $b$ 軸に関して対称で、

$$ (\pm\sqrt{2},0),\quad (0,\sqrt{2}),\quad \left(\pm\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

を通る。区間 $|a|\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ では折れ線、外側では

$$ b=\sqrt{\frac{a^2}{3}-1} $$

に従う曲線である。