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北海道大学 2014年文系第4問解説

豕ｨ諢・

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隗｣豕・

(1)

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$\text{S}(0,0)$ 縺九ｉ $(1,1)$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ邨瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ縲∝承縺ｫ1蛹ｺ髢薙∽ｸ翫↓1蛹ｺ髢馴ｲ繧縺ｮ縺ｧ

$$ {}_2\mathrm{C}_{1} = 2 \text{ 騾壹ｊ} $$

$(2,1)$ 縺九ｉ $\text{G}(4,3)$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ邨瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ縲∝承縺ｫ2蛹ｺ髢薙∽ｸ翫↓2蛹ｺ髢馴ｲ繧縺ｮ縺ｧ

$$ {}_4\mathrm{C}_{2} = 6 \text{ 騾壹ｊ} $$

繧医▲縺ｦ縲∝玄髢・$a$ 繧帝壹ｊ謚懊￠繧狗ｵ瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ

$$ 2 \times 6 = 12 \text{ 騾壹ｊ} $$

(2)

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$$ {}_5\mathrm{C}_{1} = 5 \text{ 騾壹ｊ} $$

$(4,2)$ 縺九ｉ $\text{G}(4,3)$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ邨瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ縲∽ｸ翫↓1蛹ｺ髢馴ｲ繧縺ｮ縺ｧ $1$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・繧医▲縺ｦ縲∝玄髢・$b$ 繧帝壹ｊ謚懊￠繧狗ｵ瑚ｷｯ縺ｮ邱乗焚縺ｯ

$$ 5 \times 1 = 5 \text{ 騾壹ｊ} $$

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$$ 2 \times 1 \times 1 = 2 \text{ 騾壹ｊ} $$

莉･荳翫ｈ繧翫∝玄髢・$b$ 繧帝壹ｊ謚懊￠繧狗ｵ瑚ｷｯ縺九ｉ荳｡譁ｹ繧帝壹ｋ邨瑚ｷｯ繧帝勁縺代・繧医＞縺ｮ縺ｧ縲∵ｱゅａ繧狗ｵ瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ

$$ 5 - 2 = 3 \text{ 騾壹ｊ} $$

(3)

$\text{S}$ 縺九ｉ $\text{G}$ 縺ｸ縺ｮ縺吶∋縺ｦ縺ｮ邨瑚ｷｯ縺九ｉ莉ｻ諢上↓1縺､驕ｸ繧薙□縺ｨ縺阪√◎縺ｮ邨瑚ｷｯ縺悟玄髢・$a$ 繧帝壹ｋ莠玖ｱ｡縺ｮ謖・､ｺ髢｢謨ｰ・磯壹ｋ縺ｪ繧・$1$縲・壹ｉ縺ｪ縺・↑繧・$0$ 縺ｨ縺ｪ繧狗｢ｺ邇・､画焚・峨ｒ $I_a$縲∝玄髢・$b$ 繧帝壹ｋ莠玖ｱ｡縺ｮ謖・､ｺ髢｢謨ｰ繧・$I_b$ 縺ｨ縺吶ｋ縲・

$\text{S}$ 縺九ｉ $\text{G}$ 縺ｸ閾ｳ繧狗ｵ瑚ｷｯ縺ｯ縲∵擲縺ｸ4蛹ｺ髢薙∝圏縺ｸ3蛹ｺ髢薙・蜷郁ｨ・蛹ｺ髢薙ｒ騾壹ｋ縲・縺吶∋縺ｦ縺ｮ邨瑚ｷｯ縺九ｉ莉ｻ諢上↓1縺､驕ｸ繧薙□縺ｨ縺阪↓縺九°繧区凾髢・$T$ 縺ｯ縲・

$$ T = 1 \cdot I_a + 8 \cdot I_b + 2 \cdot (7 - I_a - I_b) = 14 - I_a + 6I_b $$

縺ｨ陦ｨ縺帙ｋ縲・ $\text{S}$ 縺九ｉ $\text{G}$ 縺ｾ縺ｧ縺ｮ蜈ｨ邨瑚ｷｯ謨ｰ縺ｯ

$$ {}_7\mathrm{C}_{3} = 35 \text{ 騾壹ｊ} $$

縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・1), (2) 縺ｧ豎ゅａ縺溽ｵ瑚ｷｯ謨ｰ繧堤畑縺・※蜷・ｺ玖ｱ｡縺ｮ遒ｺ邇・ｼ域悄蠕・､・峨ｒ豎ゅａ繧九→

$$ E[I_a] = \frac{12}{35} $$

$$ E[I_b] = \frac{5}{35} = \frac{1}{7} $$

縺ｨ縺ｪ繧九・譛溷ｾ・､縺ｮ邱壼ｽ｢諤ｧ繧医ｊ縲∵ｱゅａ繧区凾髢薙・譛溷ｾ・､ $E[T]$ 縺ｯ

$$ E[T] = 14 - E[I_a] + 6E[I_b] = 14 - \frac{12}{35} + 6 \cdot \frac{1}{7} = 14 - \frac{12}{35} + \frac{30}{35} = 14 + \frac{18}{35} = \frac{508}{35} $$

隗｣豕・

(3) 縺ｮ蛻･隗｣繧堤､ｺ縺吶ゅ☆縺ｹ縺ｦ縺ｮ邨瑚ｷｯ繧偵∝玄髢・$a$, $b$ 縺ｮ騾夐℃迥ｶ豕√↓繧医▲縺ｦ4縺､縺ｮ謗貞渚縺ｪ莠玖ｱ｡縺ｫ蛻・｡槭＠縲√◎繧後◇繧後・謇隕∵凾髢薙→遒ｺ邇・ｒ險育ｮ励☆繧九・

(i) 蛹ｺ髢・$a$ 縺ｨ蛹ｺ髢・$b$ 縺ｮ荳｡譁ｹ繧帝壹ｋ邨瑚ｷｯ (2) 縺ｮ險育ｮ鈴℃遞九ｈ繧・$2$ 騾壹ｊ縲・謇隕∵凾髢薙・ $1 + 8 + 2 \times 5 = 19$ 蛻・・

(ii) 蛹ｺ髢・$a$ 繧帝壹ｊ縲∝玄髢・$b$ 繧帝壹ｉ縺ｪ縺・ｵ瑚ｷｯ蛹ｺ髢・$a$ 繧帝壹ｋ邨瑚ｷｯ縺ｮ邱乗焚 $12$ 騾壹ｊ縺九ｉ縲∽ｸ｡譁ｹ繧帝壹ｋ $2$ 騾壹ｊ繧貞ｼ輔＞縺ｦ $12 - 2 = 10$ 騾壹ｊ縲・謇隕∵凾髢薙・ $1 + 2 \times 6 = 13$ 蛻・・

(iii) 蛹ｺ髢・$a$ 繧帝壹ｉ縺壹∝玄髢・$b$ 繧帝壹ｋ邨瑚ｷｯ (2) 繧医ｊ $3$ 騾壹ｊ縲・謇隕∵凾髢薙・ $8 + 2 \times 6 = 20$ 蛻・・

(iv) 蛹ｺ髢・$a$ 繧ょ玄髢・$b$ 繧る壹ｉ縺ｪ縺・ｵ瑚ｷｯ蜈ｨ邨瑚ｷｯ謨ｰ ${}_7\mathrm{C}_{3} = 35$ 騾壹ｊ縺九ｉ縲・(i)*縲・(iii)* 縺ｮ邨瑚ｷｯ謨ｰ繧貞ｼ輔＞縺ｦ $35 - (2 + 10 + 3) = 20$ 騾壹ｊ縲・謇隕∵凾髢薙・ $2 \times 7 = 14$ 蛻・・

莉･荳翫ｈ繧翫∵ｱゅａ繧区悄蠕・､縺ｯ

$$ \frac{19 \times 2 + 13 \times 10 + 20 \times 3 + 14 \times 20}{35} = \frac{38 + 130 + 60 + 280}{35} = \frac{508}{35} $$

隗｣隱ｬ

譛遏ｭ邨瑚ｷｯ縺ｮ謨ｰ繧呈ｱゅａ繧句・蝙狗噪縺ｪ蝠城｡後〒縺ゅｋ縲ゅ窟繧帝壹ｉ縺ｪ縺・ｵ瑚ｷｯ縲阪ｒ逶ｴ謗･豎ゅａ繧九・縺碁屮縺励＞蝣ｴ蜷医・縲√悟・菴薙・邨瑚ｷｯ謨ｰ縲阪°繧峨窟繧帝壹ｋ邨瑚ｷｯ謨ｰ縲阪ｒ蠑輔￥縺ｨ縺・≧菴吩ｺ玖ｱ｡縺ｮ逋ｺ諠ｳ縺悟渕譛ｬ縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｾ縺溘・3) 縺ｮ繧医≧縺ｪ隍・尅縺ｪ譛溷ｾ・､縺ｮ險育ｮ励〒縺ｯ縲∬ｧ｣豕・縺ｧ遉ｺ縺励◆繧医≧縺ｫ縲梧悄蠕・､縺ｮ邱壼ｽ｢諤ｧ・亥柱縺ｮ譛溷ｾ・､縺ｯ譛溷ｾ・､縺ｮ蜥鯉ｼ峨阪ｒ蛻ｩ逕ｨ縺吶ｋ縺ｨ縲∽ｺ玖ｱ｡縺ｮ謗貞渚諤ｧ繧呈ｰ励↓縺吶ｋ縺薙→縺ｪ縺丞推螟画焚繧堤峡遶九＠縺ｦ險育ｮ励〒縺阪ｋ縺溘ａ縲∵焚縺井ｸ翫￡縺ｮ繝溘せ繧呈ｸ帙ｉ縺吝ｼｷ蜉帙↑謇区ｮｵ縺ｨ縺ｪ繧九・