東北大学 2021年 理系 第3問 解説

方針・初手

正八角形の頂点はすべて同一円周上にあるので、円に内接する三角形・四角形として考えるのが有効である。

特に、直角三角形については「円に内接する三角形が直角三角形であること」と「その斜辺が直径であること」が同値である。したがって、まず正八角形における直径の本数を確認する。

また、二等辺三角形は、ある頂点を頂角として左右対称に頂点を取ることで数えられる。

解法1

（1） 直角三角形の個数

正八角形の頂点のうち、向かい合う2点を結ぶと直径になる。直径は

$$ A_1A_5,\ A_2A_6,\ A_3A_7,\ A_4A_8 $$

の4本である。

円に内接する三角形が直角三角形であるための必要十分条件は、その一辺が直径であることである。したがって、各直径を斜辺とする直角三角形を数えればよい。

1本の直径を固定すると、残り6個の頂点のうちどれを選んでも直角三角形が1つできる。よって

$$ 4 \times 6 = 24 $$

個である。

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（2） 直角三角形でも二等辺三角形でもない三角形の個数

まず、正八角形の8頂点から3頂点を選ぶ三角形の総数は

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{3}=56 $$

である。

次に、二等辺三角形の個数を数える。

1つの頂点を頂角の頂点とすると、左右対称に底辺の両端を取る方法は3通りある。実際、例えば $A_1$ を頂角の頂点とすると、底辺の両端は

$$ (A_8,A_2),\ (A_7,A_3),\ (A_6,A_4) $$

の3通りである。

したがって、二等辺三角形の個数は

$$ 8 \times 3 = 24 $$

個である。

ただし、この中には直角二等辺三角形が含まれるので、重複を調整する必要がある。

直角二等辺三角形になるのは、例えば $A_1$ を頂角の頂点としたとき $(A_7,A_3)$ の場合であり、各頂点について1個ずつ存在する。よって直角二等辺三角形は

$$ 8 $$

個である。

したがって、「直角三角形または二等辺三角形」である三角形の個数は包除原理より

$$ 24+24-8=40 $$

個である。

よって、求める個数は

$$ 56-40=16 $$

個である。

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（3） 条件 $(*)$ を満たす四角形の個数

条件 $(*)$ は

「四角形の4頂点から3点を選ぶと直角三角形が作れる」

というものである。

円に内接する三角形が直角三角形になるのは、その3点の中に直径の両端が含まれるときに限る。したがって、4頂点からなる四角形が条件 $(*)$ を満たすことと、

「その4頂点の中に、向かい合う2頂点（直径の両端）が含まれること」

は同値である。

そこで、4頂点の選び方全体から、向かい合う2頂点を1組も含まないものを引く。

4頂点の選び方全体は

$$ {}_{8}\mathrm{C}_{4}=70 $$

通りである。

一方、向かい合う2頂点を1組も含まないためには、

$$ (A_1,A_5),\ (A_2,A_6),\ (A_3,A_7),\ (A_4,A_8) $$

の4組それぞれからちょうど1点ずつ選ぶしかない。各組からの選び方は2通りずつあるから、そのような4頂点の選び方は

$$ 2^4=16 $$

通りである。

したがって、条件 $(*)$ を満たす四角形の個数は

$$ 70-16=54 $$

個である。

解説

この問題の本質は、正八角形を「同一円周上の8点」とみなすことである。

直角三角形を直接角度で追うよりも、「直径を斜辺にもつ」という円周角の性質を使うと一気に数えられる。また、二等辺三角形は正多角形の対称性を使って、頂角の頂点を固定して数えるのが自然である。

（3） では、条件をそのまま数えようとすると煩雑になるが、「直角三角形が作れる ⇔ 3点の中に直径の両端がある」と言い換えることで、四角形の4頂点の中に対頂点の組が含まれるかどうかの問題に落ちる。ここまで整理できれば、余事象で簡潔に数えられる。

答え

$$ \text{(1)}\ 24 $$

$$ \text{(2)}\ 16 $$

$$ \text{(3)}\ 54 $$