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北海道大学 1966年理系第2問解説

方針・初手

座標軸の回転変換を用いて、旧座標と新座標の関係式を導き、与えられた方程式に代入して整理する。座標軸を反時計回りに $\theta$ 回転した新しい座標系を $(X, Y)$ とすると、元の座標系 $(x, y)$ との間には、点を $-\theta$ 回転させるのと同じ関係が成り立つ。すなわち、 $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$ を用いる。 (2) では、(1) で得られた新しい方程式を平方完成することで中心の座標を $a, b$ で表し、与えられた条件 $a^2 + b^2 = 2$ を用いて $a, b$ を消去し、軌跡の方程式を求める。

解法1

(1)

元の座標系における点 $(x, y)$ が、座標軸を $45^\circ$ 回転させた新しい座標系において $(X, Y)$ と表されるとする。このとき、旧座標と新座標の関係は以下のようになる。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

これより、

$$ \begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}}(X - Y) \\ y = \frac{1}{\sqrt{2}}(X + Y) \end{cases} $$

を得る。これを与えられた2次曲線の方程式 $x^2 + xy + y^2 + \sqrt{2}ax - \sqrt{2}by = 0$ に代入する。まず、2次の項について計算する。

$$ x^2 + y^2 = \frac{1}{2}(X - Y)^2 + \frac{1}{2}(X + Y)^2 = X^2 + Y^2 $$

$$ xy = \frac{1}{2}(X - Y)(X + Y) = \frac{1}{2}(X^2 - Y^2) $$

であるから、

$$ x^2 + xy + y^2 = (X^2 + Y^2) + \frac{1}{2}(X^2 - Y^2) = \frac{3}{2}X^2 + \frac{1}{2}Y^2 $$

となる。次に、1次の項について計算する。

$$ \sqrt{2}ax - \sqrt{2}by = a(X - Y) - b(X + Y) = (a - b)X - (a + b)Y $$

これらを足し合わせて $0$ とおく。

$$ \frac{3}{2}X^2 + \frac{1}{2}Y^2 + (a - b)X - (a + b)Y = 0 $$

両辺を2倍して整理すると、新しい座標 $(X, Y)$ による方程式が得られる。

$$ 3X^2 + Y^2 + 2(a - b)X - 2(a + b)Y = 0 $$

(2)

(1) で求めた新しい方程式を変形して、中心の座標を求める。$X$ と $Y$ についてそれぞれ平方完成を行う。

$$ 3\left\{ X^2 + \frac{2(a - b)}{3}X \right\} + \left\{ Y^2 - 2(a + b)Y \right\} = 0 $$

$$ 3\left( X + \frac{a - b}{3} \right)^2 - \frac{(a - b)^2}{3} + \left( Y - (a + b) \right)^2 - (a + b)^2 = 0 $$

$$ 3\left( X - \frac{b - a}{3} \right)^2 + \left( Y - (a + b) \right)^2 = \frac{(a - b)^2}{3} + (a + b)^2 $$

これより、この2次曲線の中心の新しい座標 $(X, Y)$ は、

$$ \begin{cases} X = \frac{b - a}{3} \\ Y = a + b \end{cases} $$

と表せる。この中心がえがく軌跡を求めるため、$a, b$ を消去する。上の関係式を変形すると、

$$ 3X = b - a $$

$$ Y = a + b $$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせる。

$$ (3X)^2 + Y^2 = (b - a)^2 + (a + b)^2 $$

$$ 9X^2 + Y^2 = (b^2 - 2ab + a^2) + (a^2 + 2ab + b^2) $$

$$ 9X^2 + Y^2 = 2(a^2 + b^2) $$

ここで、条件より $a^2 + b^2 = 2$ であるから、これを代入する。

$$ 9X^2 + Y^2 = 2 \cdot 2 = 4 $$

したがって、中心は新しい座標系において楕円をえがく。

解説

座標軸の回転と、それに伴う方程式の変換を問う典型問題である。「点の回転」と「座標軸の回転」の混同に注意が必要である。座標軸を反時計回りに $\theta$ 回転させたとき、ある定点について、新しい座標軸から見た位置は、相対的に時計回りに $\theta$ 回転したことと同値になる。この関係を立式できれば、あとは代入して計算するだけである。 (2) の軌跡の導出においては、$X = \frac{b-a}{3}, Y = a+b$ を $a, b$ について解いてから $a^2+b^2=2$ に代入してもよいが、$(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$ という対称性を利用すると、計算量を減らしミスを防ぐことができる。