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北海道大学 1969年理系第2問解説

方針・初手

(1) 極座標のまま図形的に考えて直線の極方程式の基本形を利用するか、一度直角座標系に変換してから方程式を求め、再度極座標に戻すアプローチが考えられる。 (2) (1)で求めた極方程式にそれぞれの偏角 $\theta$ を代入し、点 $B$ と点 $C$ の動径 $r$ を求める。その後、極座標における三角形の面積公式を利用する。 (3) 極座標のまま軌跡を求めるのは扱いづらいため、極 $O$ を原点とする直角座標系を導入する。円の方程式と接線の方程式を直角座標で立式し、極から接線に下ろした垂線の足という条件を点と直線の距離の公式を用いて処理する。

解法1

(1)

極 $O$ から直線に下ろした垂線の長さを $p \ (p>0)$、その垂線が始線 $OX$ となす角を $\alpha$ とおくと、直線の極方程式は

$$r\cos(\theta - \alpha) = p$$

と表せる。

直線が始線 $OX$ となす角は $\frac{3}{4}\pi$ であるから、この直線に直交する垂線のなす角 $\alpha$ は $\frac{\pi}{4}$ または $\frac{5}{4}\pi$ となる。点 $A\left(2a, \frac{5}{12}\pi\right)$ は第1象限側の点であり、この点を通る傾き負の直線に対して極 $O$ から下ろした垂線の足も第1象限側にあるため、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ である。

したがって、直線の極方程式は

$$r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = p$$

となる。点 $A\left(2a, \frac{5}{12}\pi\right)$ がこの直線上にあるので、代入して

$$2a\cos\left(\frac{5}{12}\pi - \frac{\pi}{4}\right) = p$$

$$2a\cos\frac{\pi}{6} = p$$

$$p = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}a$$

よって、求める極方程式は

$$r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}a$$

(2)

点 $B$ は(1)で求めた直線上の点で、偏角 $\theta = 0$ の点である。極方程式に $\theta = 0$ を代入すると

$$r\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}a$$

$$r \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}a$$

$$r = \sqrt{6}a$$

よって、点 $B$ の極座標は $(\sqrt{6}a, 0)$ であり、$OB = \sqrt{6}a$ である。

点 $C$ は(1)の直線と、偏角 $\theta = \frac{7}{12}\pi$ の直線の交点である。極方程式に $\theta = \frac{7}{12}\pi$ を代入すると

$$r\cos\left(\frac{7}{12}\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}a$$

$$r\cos\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}a$$

$$r \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}a$$

$$r = 2\sqrt{3}a$$

よって、点 $C$ の極座標は $\left(2\sqrt{3}a, \frac{7}{12}\pi\right)$ であり、$OC = 2\sqrt{3}a$ である。

$\triangle OBC$ において、$\angle BOC = \frac{7}{12}\pi - 0 = \frac{7}{12}\pi$ である。求める面積を $S$ とすると

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6}a \cdot 2\sqrt{3}a \cdot \sin\frac{7}{12}\pi \end{aligned} $$

ここで、加法定理より

$$ \begin{aligned} \sin\frac{7}{12}\pi &= \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} S &= 3\sqrt{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{3\sqrt{12} + 6}{4}a^2 \\ &= \frac{6\sqrt{3} + 6}{4}a^2 \\ &= \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}a^2 \end{aligned} $$

(3)

極 $O$ を原点、始線 $OX$ を $x$ 軸の正の向きとする直角座標系 $(x, y)$ を導入する。点 $B$ の直角座標は $(\sqrt{6}a, 0)$ である。 $OB$ を直径とする円は、中心が $M\left(\frac{\sqrt{6}}{2}a, 0\right)$、半径が $R = \frac{\sqrt{6}}{2}a$ の円である。

極 $O$ から任意の接線に下ろした垂線の足を $P(r, \theta)$ とする。直線 $OP$ は $x$ 軸の正の向きと角 $\theta$ をなすため、接線は $OP$ に垂直で、原点からの距離が $r$ である。よって、接線の方程式は直角座標を用いて

$$x\cos\theta + y\sin\theta = r$$

と表される。この直線が、中心 $M\left(\frac{\sqrt{6}}{2}a, 0\right)$、半径 $R = \frac{\sqrt{6}}{2}a$ の円に接するための条件は、中心 $M$ と直線の距離が半径 $R$ に等しいことである。点と直線の距離の公式より

$$ \begin{aligned} \frac{\left| \frac{\sqrt{6}}{2}a \cos\theta + 0 \cdot \sin\theta - r \right|}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}} &= \frac{\sqrt{6}}{2}a \\ \left| \frac{\sqrt{6}}{2}a \cos\theta - r \right| &= \frac{\sqrt{6}}{2}a \\ \frac{\sqrt{6}}{2}a \cos\theta - r &= \pm \frac{\sqrt{6}}{2}a \\ r &= \frac{\sqrt{6}}{2}a (\cos\theta \mp 1) \end{aligned} $$

極座標において動径 $r$ は $r \ge 0$ を満たすものとする。任意の $\theta$ に対して $-1 \le \cos\theta \le 1$ であり、$a > 0$ であるため、 $r = \frac{\sqrt{6}}{2}a (\cos\theta - 1) \le 0$ となる。したがって、$r \ge 0$ を満たすものは

$$r = \frac{\sqrt{6}}{2}a (1 + \cos\theta)$$

のみである。これが求める軌跡の方程式である。

解法2

(1)の別解（直角座標を介する解法）

極座標 $(r, \theta)$ と直角座標 $(x, y)$ の関係式 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いる。点 $A$ の直角座標 $(x_A, y_A)$ は

$$x_A = 2a \cos\frac{5}{12}\pi, \quad y_A = 2a \sin\frac{5}{12}\pi$$

求める直線は、直角座標系において点 $A$ を通り、傾きが $\tan\frac{3}{4}\pi = -1$ の直線であるから、その方程式は

$$y - 2a \sin\frac{5}{12}\pi = -1 \cdot \left(x - 2a \cos\frac{5}{12}\pi\right)$$

$$x + y = 2a \left(\cos\frac{5}{12}\pi + \sin\frac{5}{12}\pi\right)$$

ここで、三角関数の合成を用いると

$$ \begin{aligned} \cos\frac{5}{12}\pi + \sin\frac{5}{12}\pi &= \sqrt{2}\sin\left(\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2}\sin\frac{2}{3}\pi \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$

したがって、直線の直角座標における方程式は

$$x + y = \sqrt{6}a$$

極座標に戻すため、$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を代入すると

$$r\cos\theta + r\sin\theta = \sqrt{6}a$$

$$r \cdot \sqrt{2}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{6}a$$

よって、求める極方程式は

$$r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}a$$

解説

極座標と極方程式の基本的な扱いを問う標準的な問題である。 (1)は解法1のように図形的な意味（原点からの距離と垂線の偏角）から直接立式できると計算が早い。解法2のように一度直角座標に変換する方法は、極方程式に不慣れな場合でも確実に解き進められる有効な手段である。 (2)は、極座標のまま点を特定し、面積公式 $S = \frac{1}{2}r_1 r_2 \sin|\theta_1 - \theta_2|$ に当てはめるだけの素直な計算問題である。加法定理の正確な計算が求められる。 (3)のように、「任意の接線に極から下ろした垂線の足」の軌跡を求める問題は、直角座標系を導入して法線ベクトルの方向角 $\theta$ を用いて接線を立式する（ヘッセの標準形を利用する）のが定石である。得られた極方程式はカージオイド（心臓形）を表す。