北海道大学 1961年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1)は、半角の公式と倍角の公式を用いて $x$ を $t$ の式に直し、さらに $s$ で表す。$y$ は3倍角の公式を用いることで $\sin t$ と $\cos t$ の対称式となるため、基本対称式の変形と同様の手順で $s$ だけの式に変換できる。 (2)は、(1)で求めた $x$ と $s$ の関係式に基づき、$s$ のとりうる値の範囲を三角関数の合成を用いて求める。 (3)は、(1)で得た $x, y$ を媒介変数 $s$ で表した式から $s$ を消去し、$y$ を $x$ の関数として表す。その関数の増減を微分法によって調べ、(2)で求めた定義域におけるグラフの概形を把握する。

解法1

(1)

与えられた $x$ の式を展開し、変形する。

$$ x = 2 \left( \sin \frac{t}{2} + \cos \frac{t}{2} \right) \cos \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} + 2 \cos^2 \frac{t}{2} $$

2倍角の公式および半角の公式より、$2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = \sin t$、$2 \cos^2 \frac{t}{2} = \cos t + 1$ であるから、次のように表せる。

$$ x = \sin t + \cos t + 1 $$

$s = \sin t + \cos t$ であるから、

$$ x = s + 1 $$

次に、$y$ を変形する。3倍角の公式より、

$$ \sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t $$

$$ \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t $$

これを代入すると、

$$ \begin{aligned} y &= (3\sin t - 4\sin^3 t) - (4\cos^3 t - 3\cos t) \\ &= 3(\sin t + \cos t) - 4(\sin^3 t + \cos^3 t) \end{aligned} $$

ここで、$s = \sin t + \cos t$ の両辺を2乗すると、

$$ s^2 = (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 1 + 2\sin t \cos t $$

よって、$\sin t \cos t = \frac{s^2 - 1}{2}$ となる。これを用いて $\sin^3 t + \cos^3 t$ を $s$ で表す。

$$ \begin{aligned} \sin^3 t + \cos^3 t &= (\sin t + \cos t)(\sin^2 t - \sin t \cos t + \cos^2 t) \\ &= s (1 - \sin t \cos t) \\ &= s \left( 1 - \frac{s^2 - 1}{2} \right) \\ &= \frac{s(3 - s^2)}{2} \end{aligned} $$

これを $y$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} y &= 3s - 4 \cdot \frac{s(3 - s^2)}{2} \\ &= 3s - 2s(3 - s^2) \\ &= 2s^3 - 3s \end{aligned} $$

(2)

$t$ はすべての実数値をとりうる。三角関数の合成を用いると、$s$ は次のように変形できる。

$$ s = \sin t + \cos t = \sqrt{2} \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) $$

$-1 \leqq \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$ であるから、$s$ のとりうる値の範囲は次のようになる。

$$ -\sqrt{2} \leqq s \leqq \sqrt{2} $$

(1)より $x = s + 1$ であるから、辺々に $1$ を加えて $x$ の範囲を求める。

$$ 1 - \sqrt{2} \leqq x \leqq 1 + \sqrt{2} $$

したがって、$x$ の最大値は $1 + \sqrt{2}$、最小値は $1 - \sqrt{2}$ である。

(3)

点 $P(x, y)$ の軌跡を求めるために、(1)の式から媒介変数 $s$ を消去する。 $x = s + 1$ より $s = x - 1$ である。これを $y = 2s^3 - 3s$ に代入する。

$$ \begin{aligned} y &= 2(x - 1)^3 - 3(x - 1) \\ &= 2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 3x + 3 \\ &= 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1 \end{aligned} $$

関数 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1$ とし、(2)で求めた定義域 $1 - \sqrt{2} \leqq x \leqq 1 + \sqrt{2}$ における増減を調べる。

$$ f'(x) = 6x^2 - 12x + 3 = 3(2x^2 - 4x + 1) $$

$f'(x) = 0$ とすると、$2x^2 - 4x + 1 = 0$ より $x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。 これらはともに定義域内に存在する。 $x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$s = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$y$ の値は元の $s$ の式から計算すると次のようになる。

$$ y = 2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 - 3 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

$x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$s = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$y$ の値は次のようになる。

$$ y = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 - 3 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $$

また、定義域の端点については、$x = 1 - \sqrt{2}$ ($s = -\sqrt{2}$) のとき $y = -\sqrt{2}$ であり、$x = 1 + \sqrt{2}$ ($s = \sqrt{2}$) のとき $y = \sqrt{2}$ となる。さらに、$y$ 軸との交点は $x = 0$ のとき $y = 1$ である。

これらをまとめると、増減表は次のようになる。

したがって、求める軌跡は、3次関数 $y = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1$ のグラフのうち、$1 - \sqrt{2} \leqq x \leqq 1 + \sqrt{2}$ の部分である。

解説

媒介変数表示された曲線を、$x$ と $y$ の関係式に直してグラフを描く標準的な問題である。 (1)では、与えられた三角関数の式を適切に変形し、$s$ の多項式に落とし込む計算力が問われる。半角・倍角・3倍角の公式と、対称式の変形という基本事項が組み合わさっている。 (2)における $x$ の変域の確認は、(3)で軌跡を描く際の定義域となるため、忘れてはならないステップである。 (3)では、得られた3次関数の増減を調べてグラフの概形を把握する。極値をもつ $x$ の値が無理数になるため、$y$ 座標の計算においては元の関数 $y = 2s^3 - 3s$ に $s = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入する方が、直接 $f(x)$ に無理数を代入するよりも計算ミスを減らすことができる。

答え

(1) $x = s + 1$, $y = 2s^3 - 3s$

(2) 最大値 $1 + \sqrt{2}$, 最小値 $1 - \sqrt{2}$

(3) 軌跡は、関数 $y = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1$ のグラフのうち、$1 - \sqrt{2} \leqq x \leqq 1 + \sqrt{2}$ の部分。 （端点 $(1 - \sqrt{2}, -\sqrt{2})$ および $(1 + \sqrt{2}, \sqrt{2})$ を含み、点 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$ で極大、点 $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{2})$ で極小となる曲線）