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北海道大学 1974年理系第4問解説

方針・初手

(1) は各日を1つの枠と見なし、6つの枠に科目 $A, B, C$ をそれぞれ割り当てる。
(2) は全12時限の枠に対し、各科目4時間ずつ割り当てる「同じものを含む順列」として処理する。
(3) は各日の1時限と2時限で科目が異なることから、各日に行われる科目の「組合せ」に着目して条件を整理する。

解法1

(1)

毎日1時限と2時限を同じ科目にするため、各日について実施する1つの科目を選べばよい。ある日に1つの科目を選ぶと、その日はその科目が2時間分消費される。各科目は合計4時間行うので、それぞれの科目が選ばれる日数は $4 \div 2 = 2$（日）である。したがって、求める個数は、月曜日から土曜日までの6日間に、科目 $A, B, C$ をそれぞれ2日ずつ割り当てる方法の数に等しい。

$$ \frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = 90 $$

(2)

6日間の1時限と2時限、合計12時限の枠に対して、科目 $A, B, C$ をそれぞれ4時間ずつ割り当てる。これは、12個の異なる枠から $A, B, C$ が入る枠を選ぶ「同じものを含む順列」として計算できる。

$$ \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} $$

$$ = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 24} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 = 34650 $$

(3)

毎日1時限と2時限が異なる科目であるため、各日に実施される科目の組合せは $\{A, B\}, \{B, C\}, \{C, A\}$ のいずれかである。 6日間のうち、これらの組合せが行われる日数をそれぞれ $x, y, z$ 日とする（$x, y, z$ は0以上の整数）。全6日間であるから、以下の式が成り立つ。

$$ x + y + z = 6 \quad \cdots \text{①} $$

また、各科目は全期間でそれぞれ4回（4時間）行われる。科目 $A$ は組合せ $\{A, B\}$ および $\{C, A\}$ の日にそれぞれ1回ずつ行われるため、以下の式が成り立つ。

$$ x + z = 4 \quad \cdots \text{②} $$

同様に、科目 $B, C$ の実施回数についても以下の式が成り立つ。

$$ x + y = 4 \quad \cdots \text{③} $$

$$ y + z = 4 \quad \cdots \text{④} $$

①〜④の連立方程式を解く。 ①から②を引くと $y = 2$ となり、同様にして $x = 2, z = 2$ を得る。すなわち、各組合せが行われる日数はすべて2日ずつに確定する。

まず、6日間のうちどの日にどの組合せを割り当てるかを決める。これは6日間を2日ずつの3グループに分ける方法の数に等しく、以下の通りとなる。

$$ \frac{6!}{2!2!2!} = 90 \text{（通り）} $$

次に、各日における1時限と2時限の科目の順序を決める。どの日も異なる2科目の組合せであるから、その順序はそれぞれ $2! = 2$ 通りある。これを6日間すべてについて独立に決めるので、以下の通りとなる。

$$ 2^6 = 64 \text{（通り）} $$

よって、求める時間割の個数はこれらを掛け合わせて求められる。

$$ 90 \times 64 = 5760 $$

解説

(2) は全体の場合の数であり、同じものを含む順列の典型的な計算である。分子と分母の約分を丁寧に行うことで計算ミスを防げる。
(3) が本問の核心である。「毎日の組合せ」という切り口に気づけるかがポイントとなる。1日に2つの枠があるため、個々の時限ではなく「各日の科目の組合せ」に着目して未知数を設定することで、極めて見通しよく解くことができる。